Let \( T: R^{\wedge} 3 \rightarrow R^{\wedge} 3 \) be a linear transformation such that \( T(1,0,0)=(2,4,-1), T(0,1,0)=(1,3,-2), T(0,0,1)=(0,-2,2) \). Compute \( T(-2,4,-1) \).

\[ F(x, y, z)=(x-y, z) \] . Determinare la controimmagine di \( (2,2) \) sotto l'azione di \( F \). (i) Determinare una base e la dimensione di Im \( F \) e di Ker \( F \). (ii) Calcolare la dimensione dell'immagine del sottospazio \( U=\mathcal{L}((1,0,0),(0,2,0) \).

31. For two vectors \( \vec{A} \) and \( \vec{B} \), if \( \vec{A} \times \vec{B}=6 \hat{\imath}+2 \hat{j}+5 \hat{k}, \vec{A} \cdot \vec{B}=-13, \vec{A}+\vec{B}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \vec{k} \) then find: \( |\vec{A}|=3 \), the vectors \( \vec{A} \) and \( \vec{B} \) a) The two b) The area of the parallelogram and the triangle having \( \vec{A} \) and \( \vec{B} \) as their edge. c) A third vector having magnitude twice \( \vec{A} \) and direction perpendicular to both vectors.

Let \( T: R^{\wedge} 3 \rightarrow R^{\wedge} 3 \) be a linear transformation such that \( T(1,0,0)=(2,4,-1), T(0,1,0)=(1,3,-2), T(0,0,1)=(0,-2,2) \). Compute \( T(-2,4,-1) \). Select one:

Determina si la siguiente matriz es invertible y en caso de que sea cierto, encontrar su matriz inversa: \[ A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 5 & 4\end{array}\right) \]

Esercizio 13.5 Si consideri l'applicazione \( F: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) tale che \[ F(x, y, z)=(x-y, z) . \] Determinare la controimmagine di \( (2,2) \) sotto l'azione di \( F \). (i) Determinare una base e la dimensione di \( \operatorname{Im} F \) e di Ker \( F \). (ii) Calcolare la dimensione dell'immagine del sottospazio \( U=\mathcal{L}((1,0,0),(0,2,0) \). Svolgimento \( \{(2+t, t, 2) \mid t \in \mathbb{R}\} \). Risolvendo il relativo sistema si trovano infinite soluzioni date da