\( \left. \begin{array} { l } { f ^ { \prime } ( x ) = 4 \sqrt { x ^ { 3 } } + k x ^ { - 2 } } \\ { f ^ { \prime \prime } ( x ) = } \end{array} \right. \)

Calculate the volume obtained by revolving the area between \( y = \frac{1}{x} \), \( y = 0 \), and \( x = 1 \) to \( x = 2 \) around the y-axis using the disc method.

Determine the distance traveled by a particle moving along the curve \( y = \sin(x) \) from \( x = 0 \) to \( x = \pi \).

Hallar y' de \( y=4 x^{7} \)

Partie I : Théorème de Relèvement angulaire On donne \( g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{C}^{*} \) de classe \( C^{k}, k \geq 2 \) 1. Justifier l'existence d'une primitive \( A \) de \( \frac{g^{\prime}}{g} \), et montrer que \( \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{C}, t \mapsto g(t) e^{-A(t)} \) est constante. 2. On pose \( g(t) e^{-A(t)}=K_{0} \in \mathbb{C}^{*} \), en écrivant la fonction \( A \) sous la forme \( A=B+\mathrm{i} C \), où \( B \) et \( C \) sont des fonctions à valeurs réelles et \( K_{0}=r_{0} e^{i \alpha} \), justifier qu'existent \( r \in \mathcal{C}^{k}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}_{+}^{*}\right) \) et \( \theta \in \mathcal{C}^{k}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right) \) tels que : \[ \forall t \geq 0, g(t)=r(t) e^{i \theta(t)} \]

Partie I : Théorème de Relèvement angulaire On donne \( g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{C}^{*} \) de classe \( C^{k}, k \geq 2 \) 1. Justifier l'existence d'une primitive \( A \) de \( \frac{g^{\prime}}{g} \), et montrer que \( \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{C}, t \mapsto g(t) e^{-A(t)} \) est constante. 2. On pose \( g(t) e^{-A(t)}=K_{0} \in \mathbb{C}^{*} \), en écrivant la fonction \( A \) sous la forme \( A=B+\mathrm{i} C \), où \( B \) et \( C \) sont des fonctions à valeurs réelles et \( K_{0}=r_{0} e^{i \alpha} \), justifier qu'existent \( r \in \mathcal{C}^{k}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}_{+}^{*}\right) \) et \( \theta \in \mathcal{C}^{k}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right) \) tels que : \[ \forall t \geq 0, g(t)=r(t) e^{i \theta(t)} \]