\( f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2}-1 & \text { for } & x<1 \\ x^{2}+1 & \text { for } & x \geq 1\end{array}\right\} \) at \( x=1 \)

\begin{tabular}{l} Considérons la fonction numérique \( f \) de la variable \\ réelle \( x \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x)=\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+3} \) \\ 1. a) Montrer que : \( f^{\prime}(x)=\frac{x}{2 \sqrt{x^{2}+3}} \) pour tout \\ \( x \geq 0 \), puis dresser le tableau de variations de la \\ fonction \( f \) sur \( \mathbb{R} \). \\ a) Montrer que : \( f([0 ; 1[\subset[0 ; 1[ \). \\ \hline 2. a) Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation \( (E): f(x)=x \). \\ b) Montrer que : \( f(x)>x \) pour tout élément \\ \( x \) de l'intervalle \( [0 ; 1[ \). \end{tabular}

\( \int _ { 1 } ^ { 5 } \frac { \tan ( \cos ^ { 2 } x ) } { \ln [ \cot x ] } d x \)

Resuelva la presente integral definida por los siguientes métodos. Trabaje con \( \mathrm{n}=10 \) : a) Método de Simpson. (Valor: 9 puntos) b) Método del Trapecio. (Valor: 9 puntos) c) Analice y compare resultados con el área dada por dicha integral. (Valor 2 puntos)

(1) \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}+3 x-7}{5 x^{2}+x+3} \)

\( f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } 1 + 4 x y d x \)