73 On donne la fonction \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) \[ x \mapsto \frac{1}{2 \sin 2 x+1} \] 1. Quel est l'ensemble de définition de \( f \) ? 2. a) La fonction \( f \) est-elle paire ? impaire ? Justifier b) Démontrer que \( f \) est périodique de période \( \pi \). 3. Trouver les antécédents de \( \frac{1}{2} \) par \( f \). 4. Trouver l'image réciproque de \( \mathbb{R}^{+} \)par \( f \).

1. **Ensemble de définition de \( f \):** - \( f(x) = \frac{1}{2 \sin(2x) + 1} \) est définie pour tous \( x \) tels que \( 2 \sin(2x) + 1 \neq 0 \). - Cela signifie que \( \sin(2x) \neq -\frac{1}{2} \). - Les valeurs de \( x \) à exclure sont \( x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \) et \( x = \frac{11\pi}{12} + k\pi \) pour tout entier \( k \). - Donc, \( D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{7\pi}{12} + k\pi, \frac{11\pi}{12} + k\pi \, | \, k \in \mathbb{Z} \right\} \). 2. **a) Paire ou impaire?** - Calculons \( f(-x) \): \[ f(-x) = \frac{1}{2 \sin(-2x) + 1} = \frac{1}{-2 \sin(2x) + 1} \] - Comparons \( f(-x) \) et \( f(x) \): \[ f(-x) + f(x) = \frac{1}{-2 \sin(2x) + 1} + \frac{1}{2 \sin(2x) + 1} = \frac{2}{(-2 \sin(2x) + 1)(2 \sin(2x) + 1)} \neq 0 \] - Conclusion: \( f \) n'est ni paire ni impaire. 3. **Périodicité de \( f \):** - Calculons \( f(x + \pi) \): \[ f(x + \pi) = \frac{1}{2 \sin(2(x + \pi)) + 1} = \frac{1}{2 \sin(2x + 2\pi) + 1} = \frac{1}{2 \sin(2x) + 1} = f(x) \] - Conclusion: \( f \) est périodique de période \( \pi \). 4. **Antécédents de \( \frac{1}{2} \) par \( f \):** - Résolvons \( f(x) = \frac{1}{2} \): \[ \frac{1}{2 \sin(2x) + 1} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 \sin(2x) + 1 = 2 \Rightarrow \sin(2x) = \frac{1}{2} \] - Solutions: \[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] - Donc, \( x = \frac{\pi}{12} + k\pi \) ou \( x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \) pour tout entier \( k \). 5. **Image réciproque de \( \mathbb{R}^{+} \) par \( f \):** - Recherche des \( x \) tels que \( f(x) > 0 \): \[ \frac{1}{2 \sin(2x) + 1} > 0 \Rightarrow 2 \sin(2x) + 1 > 0 \Rightarrow \sin(2x) > -\frac{1}{2} \] - Solutions: \[ 2x \in \left(-\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\right) \quad (k \in \mathbb{Z}) \] - Donc, \( f^{-1}(\mathbb{R}^{+}) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left(-\frac{\pi}{12} + k\pi, \frac{7\pi}{12} + k\pi\right) \).