Baрнант 1: 1. Найти \( y \) : \( \begin{array}{ll}\text { a) } y=\sqrt[4]{x^{2}+3 x} ; & \text { б) } y=\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}} ;\end{array} \) в) \( y=\operatorname{arctg} \sqrt{x}-\sqrt{x} ; \) г) \( \left\{\begin{array}{l}x=a t \\ (y=a t \\ \text { 2. Найти } y^{\prime \prime} \text {, если } y=\sin ^{2} 2 x\end{array}\right. \)

The area of a rectangular cross-section of a solid is given by the dimensions in terms of a linear function: width = \(x\) and height = \(3 - x\) for \(0 \leq x \leq 3\). Calculate the volume of the solid when these rectangles are stacked from \(x=0\) to \(x=3\).

Partie I : Théorème de Relèvement angulaire On donne \( g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{C}^{*} \) de classe \( C^{k}, k \geq 2 \) 1. Justifier l'existence d'une primitive \( A \) de \( \frac{g^{\prime}}{g} \), et montrer que \( \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{C}, t \mapsto g(t) e^{-A(t)} \) est constante. 2. On pose \( g(t) e^{-A(t)}=K_{0} \in \mathbb{C}^{*} \), en écrivant la fonction \( A \) sous la forme \( A=B+\mathrm{i} C \), où \( B \) et \( C \) sont des fonctions à valeurs réelles et \( K_{0}=r_{0} e^{i \alpha} \), justifier qu'existent \( r \in \mathcal{C}^{k}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}_{+}^{*}\right) \) et \( \theta \in \mathcal{C}^{k}\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right) \) tels que : \[ \forall t \geq 0, g(t)=r(t) e^{i \theta(t)} \]

Hallar y' de \( y=4 x^{7} \)

Deriva. \( \frac{4}{x} \)

- Derivative of \( \tan x \) Solution