11. If 'North-East' becomes 'West' and 'South-East' becomes South and so on. What will 'West'become? यदि उतर-पूर्व, पश्चिम हो जाता है और दक्षिण-पूर्व, दक्षिण हा जाता है, तो पश्चिम क्या होगा? (a) South-East/दक्षिण पूर्व (b) North-West/उत्तर-पश्चिम (c) South-West/दक्षिण पश्चिम (d) North-East/उत्तर पूर्व

Considere la frase: "Todos los estudiantes en el curso aprobaron el examen o realizaron el proyecto final." Donde: \( s(x): " x \) es estudiante en el curso." \( e(x) \) : "X aprobo el examen." \( p(x) \) : "x realizó el proyecto final." ¿Cuál de las siguientes expresiones en lógica proposicional representa correctamente esta afirmación? \( \forall x(s(x) \rightarrow(c(x) \vee p(x))) \) \( \forall x(s(x) \wedge(e(x) \vee p(x))) \) \( \exists x(s(x) \vee(e(x) \rightarrow p(x))) \) \( \exists x(s(x) \wedge(e(x) \vee p(x))) \)

\[ F(x, y, z)=(x-y, z) \] . Determinare la controimmagine di \( (2,2) \) sotto l'azione di \( F \). (i) Determinare una base e la dimensione di Im \( F \) e di Ker \( F \). (ii) Calcolare la dimensione dell'immagine del sottospazio \( U=\mathcal{L}((1,0,0),(0,2,0) \).

4. Hallar los autovalores reales \( y \) autovectores de \( \mathbb{R}^{n}, y \) una base de au- tovectores cuando sea posible, de las matrices: a) \( \left(\begin{array}{rr}4 & 6 \\ -3 & -5\end{array}\right) \), b) \( \left(\begin{array}{cr}5 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right) \), c) \( \left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 3\end{array}\right) \), d) \( \left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right) \)

Let \( T: R^{\wedge} 3 \rightarrow R^{\wedge} 3 \) be a linear transformation such that \( T(1,0,0)=(2,4,-1), T(0,1,0)=(1,3,-2), T(0,0,1)=(0,-2,2) \). Compute \( T(-2,4,-1) \).

4. Hallar los autovalores reales \( y \) autovectores de \( \mathbb{R}^{n}, y \) una base de au- tovectores cuando sea posible, de las matrices: a) \( \left(\begin{array}{rr}4 & 6 \\ -3 & -5\end{array}\right) \), b) \( \left(\begin{array}{cc}5 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right) \), c) \( \left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 3\end{array}\right) \),d) \( \left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right) \)