56) \( \frac{1}{x^{4}-1} \)

1. Factorizamos el denominador: \[ x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) \] 2. Planteamos la descomposición en fracciones parciales: \[ \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1} \] 3. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \((x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)\) para eliminar los denominadores: \[ 1 = A(x + 1)(x^2 + 1) + B(x - 1)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x^2 - 1) \] 4. Expandimos cada término: - Expansión de \(A(x + 1)(x^2 + 1)\): \[ A(x^3 + x^2 + x + 1) = Ax^3 + Ax^2 + Ax + A \] - Expansión de \(B(x - 1)(x^2 + 1)\): \[ B(x^3 - x^2 + x - 1) = Bx^3 - Bx^2 + Bx - B \] - Expansión de \((Cx + D)(x^2 - 1)\): \[ Cx(x^2 - 1) + D(x^2 - 1) = Cx^3 - Cx + Dx^2 - D \] 5. Sumamos los términos para obtener la expansión total: \[ 1 = (A + B + C)x^3 + (A - B + D)x^2 + (A + B - C)x + (A - B - D) \] 6. Igualamos los coeficientes de los mismos grados al polinomio constante 1, es decir: - Coeficiente de \(x^3\): \[ A + B + C = 0 \quad (1) \] - Coeficiente de \(x^2\): \[ A - B + D = 0 \quad (2) \] - Coeficiente de \(x\): \[ A + B - C = 0 \quad (3) \] - Término independiente: \[ A - B - D = 1 \quad (4) \] 7. Resolución del sistema de ecuaciones: Del (3): \[ A + B - C = 0 \quad \Longrightarrow \quad C = A + B \] Sustituyendo \(C = A + B\) en (1): \[ A + B + (A + B) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2(A + B) = 0 \quad \Longrightarrow \quad A + B = 0 \] Esto implica: \[ B = -A \quad \text{y por tanto} \quad C = 0 \] Utilizamos (2): \[ A - (-A) + D = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2A + D = 0 \quad \Longrightarrow \quad D = -2A \] Ahora, usamos (4): \[ A - (-A) - D = 1 \quad \Longrightarrow \quad 2A - D = 1 \] Sustituimos \(D = -2A\): \[ 2A - (-2A) = 1 \quad \Longrightarrow \quad 4A = 1 \quad \Longrightarrow \quad A = \frac{1}{4} \] De donde: \[ B = -\frac{1}{4}, \quad C = 0, \quad D = -2\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{2} \] 8. Por lo tanto, la descomposición es: \[ \frac{1}{x^4-1} = \frac{1/4}{x-1} - \frac{1/4}{x+1} - \frac{1/2}{x^2+1} \] La respuesta final es: \[ \boxed{\frac{1}{x^4-1} = \frac{1}{4(x-1)} - \frac{1}{4(x+1)} - \frac{1}{2(x^2+1)}} \]