43. \( \int_{0}^{\pi} f(x) d x \) donde \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\operatorname{sen} x & \text { si } 0 \leqslant x<\pi / 2 \\ \cos x & \text { si } \pi / 2 \leqslant x \leqslant \pi\end{array}\right. \)

Consideremos la integral definida por la función escalonada \[ \int_{0}^{\pi} f(x) \, dx, \] donde \[ f(x)=\begin{cases} \sin x & \text{si } 0 \leq x < \frac{\pi}{2},\\[6pt] \cos x & \text{si } \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi. \end{cases} \] Dividiremos la integral en dos partes, de acuerdo con la definición de \( f(x) \): \[ \int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \, dx. \] 1. **Evaluación de** \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx\): La integral de \(\sin x\) es \(-\cos x\). Evaluamos: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = \left[-\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \Bigl[-\cos \frac{\pi}{2}\Bigr] - \Bigl[-\cos 0\Bigr]. \] Sabemos que \(\cos \frac{\pi}{2} = 0\) y \(\cos 0 = 1\), por lo que: \[ \left[-\cos \frac{\pi}{2}\right] - \left[-\cos 0\right] = \bigl[0\bigr] - \bigl[-1\bigr] = 1. \] 2. **Evaluación de** \(\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \, dx\): La integral de \(\cos x\) es \(\sin x\). Evaluamos: \[ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \, dx = \left[\sin x\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \sin \pi - \sin \frac{\pi}{2}. \] Como \(\sin \pi = 0\) y \(\sin \frac{\pi}{2} = 1\), obtenemos: \[ 0 - 1 = -1. \] 3. **Suma de las dos partes:** \[ \int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = 1 + (-1) = 0. \] Por lo tanto, el valor de la integral es: \[ \boxed{0}. \]