Bestimme den Abstand des Punktes \( P(10|-10| 0) \) von der Ebene E: \( 4 x_{1}-4 x_{2}-2 x_{3}=8 \). Gib einen weiteren Punkt \( Q \) an, der den gleichen Abstand zu E hat. \[ \mathrm{d}=\square \] \[ (\square|\square| \square) \]

Um den Abstand des Punktes \( P(10|-10|0) \) von der Ebene \( E: 4 x_{1}-4 x_{2}-2 x_{3}=8 \) zu bestimmen, verwenden wir die Formel für den Abstand \( d \) eines Punktes \( (x_0, y_0, z_0) \) von einer Ebene \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}. \] In diesem Fall haben wir \( A = 4 \), \( B = -4 \), \( C = -2 \) und \( D = -8 \). Der Punkt \( P \) hat die Koordinaten \( (10, -10, 0) \). Setzen wir die Werte ein: \[ d = \frac{|4 \cdot 10 + (-4) \cdot (-10) + (-2) \cdot 0 - 8|}{\sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-2)^2}}. \] Dies vereinfacht sich zu: \[ d = \frac{|40 + 40 - 8|}{\sqrt{16 + 16 + 4}} = \frac{|72|}{\sqrt{36}} = \frac{72}{6} = 12. \] Also ist der Abstand \[ \mathrm{d}=12. \] Um einen weiteren Punkt \( Q \) anzugeben, der den gleichen Abstand zu \( E \) hat, können wir einen Punkt auf der Linie in der Normalenrichtung der Ebene finden. Ein einfacher Ansatz ist, den Punkt \( P \) um \( 12 \) Einheiten entlang der Normalen der Ebene zu verschieben. Die Normalenvektoren der Ebene sind \( (4, -4, -2) \). Ein Punkt \( Q \), der diesen Abstand hat, könnte sein: \[ Q(10 + \lambda \cdot 4, -10 - \lambda \cdot 4, 0 - \lambda \cdot 2) \] Setzen wir \( \lambda = 3 \): \[ Q(10 + 12, -10 - 12, 0 - 6) = Q(22, -22, -6). \] Also erhalten wir: \[ (22|-22|-6). \]