Aufgabe: (2 Punkte) Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ -8 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-4 \\ 4 \\ -5\end{array}\right) \) mit der Ebene E: \( 7 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=-56 \).

Um den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g} \) mit der Ebene \( \mathrm{E} \) zu berechnen, setzen wir die Parametrisierung der Geraden in die Gleichung der Ebene ein. Die Geradengleichung lautet: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix} \] Das ergibt die Komponenten: \[ x_1 = 4 - 4t, \quad x_2 = -8 + 4t, \quad x_3 = 3 - 5t \] Setzen wir diese in die Ebenengleichung \( 7x_1 + x_2 + 4x_3 = -56 \) ein: \[ 7(4 - 4t) + (-8 + 4t) + 4(3 - 5t) = -56 \] Berechnen wir die linke Seite: \[ 28 - 28t - 8 + 4t + 12 - 20t = -56 \] \[ 32 - 44t = -56 \] Nun isolieren wir \( t \): \[ -44t = -56 - 32 \] \[ -44t = -88 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{-88}{-44} = 2 \] Setzen wir \( t = 2 \) in die Geradengleichung ein, um den Durchstoßpunkt zu finden: \[ x_1 = 4 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \] \[ x_2 = -8 + 4 \cdot 2 = -8 + 8 = 0 \] \[ x_3 = 3 - 5 \cdot 2 = 3 - 10 = -7 \] Der Durchstoßpunkt ist: \[ \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix} \]