Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ 12\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -4\end{array}\right) \) mit der Ebene E: \( -4 x_{1}-4 x_{2}+2 x_{3}=4 \) Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. \( \begin{array}{l}\text { Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt } \mathrm{D}(\square) \\ \text { Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene } \mathrm{d}=\end{array} \)

Um zu untersuchen, ob die Gerade \( g \) die Ebene \( E \) schneidet oder parallel zu ihr ist, setzen wir die Gleichung der Ebene in die Koordinatendarstellung der Geraden ein. Die Richtungsvektor der Geraden ist \( \vec{v} = \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -4\end{array}\right) \) und der Stützpunkt \( \vec{p} = \left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ 12\end{array}\right) \). Zuerst bringen wir die Gleichung der Ebene in Parameterform, um den Durchstoßpunkt zu finden: Setzen wir \( (x_1, x_2, x_3) \) der Geraden in die Ebenengleichung \( -4x_1 - 4x_2 + 2x_3 = 4 \) ein: \[ x_1 = -3 + t, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 12 - 4t \] Einsetzen in die Ebenengleichung: \[ -4(-3 + t) - 4(2) + 2(12 - 4t) = 4 \] \[ 12 - 4t - 8 + 24 - 8t = 4 \] \[ 28 - 12t = 4 \] \[ 12t = 24 \Rightarrow t = 2 \] Damit sind die Koordinaten des Durchstoßpunkts \( D \): \[ x_1 = -3 + 2 = -1, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 12 - 4 \cdot 2 = 4 \] Also ist der Durchstoßpunkt \( D(-1, 2, 4) \). Somit lautet die Antwort: Gerade schneidet die Ebene, Durchstoßpunkt \( D(-1, 2, 4) \) \( \quad \text{Gerade ist nicht parallel zur Ebene.} \)