Comprosar las mahrices: $$ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 3 & 0\end{array} ight) $$ y $$ B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \ 1 & 3\end{array} ight) $$ que; a) $$ (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} $$ b) $$ (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} $$ c) $$ (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} $$

Question

Comprosar las mahrices: $$ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \ 3 & 0\end{array}ight) $$ y $$ B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \ 1 & 3\end{array}ight) $$ que; a) $$ (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} $$ b) $$ (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} $$ c) $$ (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} $$

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Para comprobar las propiedades dadas para las matrices $$ A $$ y $$ B $$, realizaremos los cálculos paso a paso para cada inciso.

Dadas las matrices:
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 0
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
2 & -1 \
1 & 3
\end{pmatrix}
$$

### a) Verificar si $$ (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 $$

**Paso 1: Calcular $$ A + B $$**
$$
A + B = \begin{pmatrix}
1+2 & 2+(-1) \
3+1 & 0+3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 & 1 \
4 & 3
\end{pmatrix}
$$

**Paso 2: Calcular $$ (A+B)^2 $$**
$$
(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = \begin{pmatrix}
3 & 1 \
4 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 & 1 \
4 & 3
\end{pmatrix}
$$
$$
= \begin{pmatrix}
3 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \
4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 & 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
13 & 6 \
24 & 13
\end{pmatrix}
$$

**Paso 3: Calcular $$ A^2 $$, $$ AB $$ y $$ B^2 $$**

- **$$ A^2 $$:**
$$
A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \
3 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 0 \cdot 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
7 & 2 \
3 & 6
\end{pmatrix}
$$

- **$$ AB $$:**
$$
AB = A \cdot B = \begin{pmatrix}
1 & 2 \
3 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & -1 \
1 & 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 \
3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 5 \
6 & -3
\end{pmatrix}
$$

- **$$ B^2 $$:**
$$
B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix}
2 & -1 \
1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & -1 \
1 & 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 & 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \
1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 & -5 \
5 & 8
\end{pmatrix}
$$

**Paso 4: Calcular $$ A^2 + 2AB + B^2 $$**
$$
2AB = 2 \cdot \begin{pmatrix}
4 & 5 \
6 & -3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
8 & 10 \
12 & -6
\end{pmatrix}
$$
$$
A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix}
7 & 2 \
3 & 6
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
8 & 10 \
12 & -6
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3 & -5 \
5 & 8
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
18 & 7 \
20 & 8
\end{pmatrix}
$$

**Comparación:**
$$
(A+B)^2 = \begin{pmatrix}
13 & 6 \
24 & 13
\end{pmatrix} \neq A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix}
18 & 7 \
20 & 8
\end{pmatrix}
$$

**Conclusión:** La igualdad $$ (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 $$ **no se cumple** para las matrices dadas.

---

### b) Verificar si $$ (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 $$

**Paso 1: Calcular $$ A - B $$**
$$
A - B = \begin{pmatrix}
1-2 & 2-(-1) \
3-1 & 0-3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 & 3 \
2 & -3
\end{pmatrix}
$$

**Paso 2: Calcular $$ (A-B)^2 $$**
$$
(A-B)^2 = (A-B)(A-B) = \begin{pmatrix}
-1 & 3 \
2 & -3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 3 \
2 & -3
\end{pmatrix}
$$
$$
= \begin{pmatrix}
(-1) \cdot (-1) + 3 \cdot 2 & (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-3) \
2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 & 2 \cdot 3 + (-3) \cdot (-3)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
7 & -12 \
-8 & 15
\end{pmatrix}
$$

**Paso 3: Calcular $$ A^2 - 2AB + B^2 $$**
$$
A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix}
7 & 2 \
3 & 6
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
8 & 10 \
12 & -6
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3 & -5 \
5 & 8
\end{pmatrix}
$$
$$
= \begin{pmatrix}
7 - 8 + 3 & 2 - 10 -5 \
3 - 12 +5 & 6 - (-6) +8
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & -13 \
-4 & 20
\end{pmatrix}
$$

**Comparación:**
$$
(A-B)^2 = \begin{pmatrix}
7 & -12 \
-8 & 15
\end{pmatrix} \neq A^2 - 2AB + B^2 = \begin{pmatrix}
2 & -13 \
-4 & 20
\end{pmatrix}
$$

**Conclusión:** La igualdad $$ (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 $$ **no se cumple** para las matrices dadas.

---

### c) Verificar si $$ (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 $$

**Paso 1: Calcular $$ (A+B)(A-B) $$**
$$
(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix}
3 & 1 \
4 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 3 \
2 & -3
\end{pmatrix} = 
$$
$$
= \begin{pmatrix}
3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 & 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-3) \
4 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 & 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-3)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 & 6 \
2 & 3
\end{pmatrix}
$$

**Paso 2: Calcular $$ A^2 - B^2 $$**
$$
A^2 - B^2 = \begin{pmatrix}
7 & 2 \
3 & 6
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
3 & -5 \
5 & 8
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 7 \
-2 & -2
\end{pmatrix}
$$

**Comparación:**
$$
(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix}
-1 & 6 \
2 & 3
\end{pmatrix} \neq A^2 - B^2 = \begin{pmatrix}
4 & 7 \
-2 & -2
\end{pmatrix}
$$

**Conclusión:** La igualdad $$ (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 $$ **no se cumple** para las matrices dadas.

---

### Resumen

Ninguna de las propiedades a), b) y c) se cumple para las matrices $$ A $$ y $$ B $$ dadas. Esto se debe a que, en general, las matrices no conmutan ($$ AB \neq BA $$), lo que hace que las identidades algebraicas similares a las de los números reales no sean válidas en el contexto de matrices.
Las propiedades $$ (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 $$, $$ (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 $$, y $$ (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 $$ **no se cumplen** para las matrices $$ A $$ y $$ B $$ dadas. Esto se debe a que las matrices no conmutan, lo que hace que estas identidades no sean válidas en este caso.

Comprosar las mahrices: \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 0\end{array}\right) \) y \( B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right) \) que; a) \( (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} \) b) \( (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} \) c) \( (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} \)

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