La función $$ f(x)=\frac{60 x}{x^{2}+9} $$ indica los beneficios ob- tenidos por una empresa desde que comenzó a funcionar $$ (f(x) $$ en miles de euros, $$ x $$ en años). a) Represéntala gráficamente. b) ¿Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el benefi- cio máximo? ¿Cuál es ese beneficio? c) ¿Perderá dinero la empresa en algún momento?

Question

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a) Para representar la función $$ f(x)=\frac{60x}{x^2+9} $$ gráficamente, tenemos en cuenta lo siguiente:

- Es una función racional.
- Su dominio es todo $$ x \in \mathbb{R} $$, aunque en el contexto económico tiene sentido considerar $$ x\geq 0 $$ (años de funcionamiento).
- Tiene una asíntota horizontal en $$ y=0 $$ ya que, cuando $$ \vert x \vert\to\infty $$,
  $$
  f(x)\sim\frac{60x}{x^2}=\frac{60}{x}\to0.
  $$
- Verificamos algunos puntos: 
  - En $$ x=0 $$, $$ f(0)=0 $$.
  - En $$ x=3 $$, $$ f(3)=\frac{60\cdot 3}{3^2+9}=\frac{180}{18}=10 $$ (en miles de euros).
  - En $$ x=1 $$ y $$ x=2 $$ se obtienen valores intermedios.
  
La gráfica comienza en el origen, incrementa hasta alcanzar un máximo y luego decrece alejándose de ese punto, acercándose a la asíntota horizontal $$ y=0 $$ al crecer $$ x $$.

b) Para encontrar el tiempo en el que se obtiene el beneficio máximo y el valor de dicho beneficio, derivamos $$ f(x) $$ y buscamos los puntos críticos.

La función es 
$$
f(x)=\frac{60x}{x^2+9}.
$$
Aplicamos la regla del cociente para derivar:
$$
f'(x)=\frac{(60)(x^2+9)-60x\,(2x)}{(x^2+9)^2}=\frac{60x^2+540-120x^2}{(x^2+9)^2}=\frac{-60x^2+540}{(x^2+9)^2}.
$$
Igualamos el numerador a cero:
$$
-60x^2+540=0\quad\Longrightarrow\quad 60x^2=540\quad\Longrightarrow\quad x^2=9\quad\Longrightarrow\quad x=3\text{ (tomamos la solución positiva)}.
$$
Evaluamos $$ f(x) $$ en $$ x=3 $$:
$$
f(3)=\frac{60\cdot 3}{3^2+9}=\frac{180}{9+9}=\frac{180}{18}=10.
$$
Por lo tanto, la empresa alcanza el beneficio máximo de 10 (miles de euros) al cabo de 3 años.

c) La función $$ f(x) $$ presenta la forma de $$ \frac{60x}{x^2+9} $$. Para $$ x>0 $$ (el intervalo de interés en años), tanto el numerador como el denominador son positivos, por lo que $$ f(x)>0 $$. En $$ x=0 $$ se tiene $$ f(0)=0 $$.

Por ello, la empresa no tiene pérdidas (beneficio negativo) en ningún momento, ya que sus beneficios son siempre cero o positivos.

Resumen de respuestas:
- a) La gráfica de $$ f(x)=\frac{60x}{x^2+9} $$ inicia en el origen, alcanza un máximo en $$ x=3 $$ con $$ f(3)=10 $$ y se aproxima a $$ y=0 $$ a medida que $$ x $$ tiende a infinito.
- b) La función alcanza su máximo beneficio de 10 (miles de euros) al cabo de 3 años.
- c) La empresa nunca pierde dinero, pues $$ f(x)\geq0 $$ para $$ x\geq0 $$.
a) La gráfica de $$ f(x)=\frac{60x}{x^2+9} $$ comienza en el origen, alcanza un máximo en 3 años con un beneficio de 10 (miles de euros) y se acerca a la línea $$ y=0 $$ a medida que pasa el tiempo. b) La empresa obtiene el beneficio máximo de 10 (miles de euros) al cabo de 3 años. c) La empresa nunca pierde dinero, ya que sus beneficios son siempre 0 o positivos.

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