3. $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=4 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad 00 $$ $$ u(0, t)=u(\pi, t)=0, \quad t0 $$ $$ u(x, 0)=x^{2}(\pi-x), \quad 0

Question

3. $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=4 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad 00 $$ $$ u(0, t)=u(\pi, t)=0, \quad t>0 $$ $$ u(x, 0)=x^{2}(\pi-x), \quad 0

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Para resolver la ecuación de onda dada: $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = 4 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad 0 < x < \pi, \quad t > 0 $$ con las condiciones de frontera y condiciones iniciales: $$ u(0, t) = u(\pi, t) = 0, \quad t > 0 $$ $$ u(x, 0) = x^{2}(\pi - x), \quad 0 < x < \pi $$ $$ \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0, \quad 0 < x < \pi $$ seguimos los siguientes pasos: ### 1. Separación de Variables Asumimos una solución de la forma: $$ u(x, t) = X(x) T(t) $$ Sustituyendo en la ecuación de onda: $$ X(x) T''(t) = 4 X''(x) T(t) $$ Dividimos ambos lados por $$ X(x)T(t) $$: $$ \frac{T''(t)}{T(t)} = 4 \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda^2 $$ Esto nos da dos ecuaciones diferenciales ordinarias: $$ T''(t) + \lambda^2 T(t) = 0 $$ $$ X''(x) + \frac{\lambda^2}{4} X(x) = 0 $$ ### 2. Solución de la Ecuación Espacial Consideramos las condiciones de frontera $$ u(0, t) = u(\pi, t) = 0 $$. Las soluciones para $$ X(x) $$ son funciones seno: $$ X_n(x) = \sin\left(nx\right), \quad n = 1, 2, 3, \ldots $$ Los valores propios correspondientes son: $$ \lambda_n = 2n $$ ### 3. Solución de la Ecuación Temporal Para cada $$ n $$, la solución temporal es: $$ T_n(t) = A_n \cos(2n t) + B_n \sin(2n t) $$ ### 4. Solución General La solución general es una serie de Fourier: $$ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cos(2n t) + B_n \sin(2n t) \right] \sin(nx) $$ ### 5. Aplicación de las Condiciones Iniciales #### Condición Inicial en $$ u(x, 0) $$: $$ u(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(nx) = x^{2}(\pi - x) $$ Los coeficientes $$ A_n $$ se determinan mediante la expansión en serie de Fourier seno: $$ A_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^{2}(\pi - x) \sin(nx) \, dx $$ Esta integral puede resolverse mediante métodos de integración por partes o utilizando tablas de integrales estándar. #### Condición Inicial en $$ \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0 $$: $$ u_t(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} 2n B_n \sin(nx) = 0 $$ Esto implica que todos los $$ B_n = 0 $$. ### 6. Solución Final Finalmente, la solución de la ecuación de onda es: $$ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(2n t) \sin(nx) $$ donde los coeficientes $$ A_n $$ están dados por: $$ A_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^{2}(\pi - x) \sin(nx) \, dx $$ Esta serie representa la solución completa del problema, satisfaciendo tanto la ecuación diferencial como las condiciones de frontera e iniciales dadas. La solución de la ecuación de onda es: $$ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos(2n t) \sin(nx) $$ donde los coeficientes $$ A_n $$ se calculan mediante la integral: $$ A_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^{2}(\pi - x) \sin(nx) \, dx $$ Esta serie cumple con la ecuación de onda y las condiciones de frontera e iniciales proporcionadas.

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