Per ogni $$ \alpha \geq 0 $$ è data la funzione $$ f(x)=|\sin x|^{\alpha} $$. È vero che: Scegli un'alternativa: per ogni $$ \alpha0, f $$ non è derivabile in $$ x=\pi x $$ per ogni $$ \alpha0, f $$ non è derivabile su in $$ x=0 $$ per ogni $$ \alpha \in(0,1), f $$ non ha punti di minimo assoluto $$ f $$ è derivabile su $$ \mathbb{R} $$ per ogni $$ \alpha \geq 0 $$ $$ f $$ è derivabile su $$ \mathbb{R} \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha1 \vee \alpha=0 $$

Question

Per ogni $$ \alpha \geq 0 $$ è data la funzione $$ f(x)=|\sin x|^{\alpha} $$. È vero che: Scegli un'alternativa: per ogni $$ \alpha>0, f $$ non è derivabile in $$ x=\pi x $$ per ogni $$ \alpha>0, f $$ non è derivabile su in $$ x=0 $$ per ogni $$ \alpha \in(0,1), f $$ non ha punti di minimo assoluto $$ f $$ è derivabile su $$ \mathbb{R} $$ per ogni $$ \alpha \geq 0 $$ $$ f $$ è derivabile su $$ \mathbb{R} \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha>1 \vee \alpha=0 $$

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La risposta corretta è:

**$$ f $$ è derivabile su $$ \mathbb{R} \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha>1 \vee \alpha=0 $$**

### Spiegazione:

Consideriamo la funzione $$ f(x) = |\sin x|^{\alpha} $$.

1. **Derivabilità nei punti $$ x = k\pi $$:**
   - **Per $$ \alpha > 1 $$:** La funzione è derivabile in questi punti, con derivata zero, poiché il termine $$ |h|^{\alpha-1} $$ tende a zero quando $$ h 	o 0 $$.
   - **Per $$ 0 < \alpha \leq 1 $$:** La funzione non è derivabile in $$ x = k\pi $$, poiché i limiti laterali della derivata non coincidono.
   - **Per $$ \alpha = 0 $$:** La funzione è costante (eccetto nei punti $$ x = k\pi $$ dove è definita come zero), ma generalmente consideriamo $$ \alpha = 0 $$ come un caso limite dove la derivabilità globale non è influenzata dalle singolarità isolate.

2. **Altre opzioni:**
   - **Non derivabile in $$ x = 0 $$ per ogni $$ \alpha > 0 $$:** Falso, poiché per $$ \alpha > 1 $$ la funzione è derivabile in $$ x = 0 $$.
   - **Assenza di punti di minimo per $$ \alpha \in (0,1) $$:** Falso, poiché i punti $$ x = k\pi $$ sono comunque minimi assoluti.
   - **Derivabilità globale per ogni $$ \alpha \geq 0 $$:** Falso, come spiegato sopra.

Quindi, l'unica affermazione vera è la quinta opzione.

**Risposta finale:**

$$ f $$ è derivabile su $$ \mathbb{R} \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha>1 \vee \alpha=0 $$
$$ f $$ è derivabile su $$ \mathbb{R} $$ se $$ \alpha > 1 $$ o $$ \alpha = 0 $$.

Per ogni è data la funzione . È vero che:
Scegli un’alternativa:
per ogni non è derivabile in
per ogni non è derivabile su in
per ogni non ha punti di minimo assoluto
è derivabile su per ogni
è derivabile su

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Per ogni è data la funzione . È vero che: Scegli un’alternativa: per ogni non è derivabile in per ogni non è derivabile su in per ogni non ha punti di minimo assoluto è derivabile su per ogni è derivabile su