Per ogni \( \alpha \geq 0 \) è data la funzione \( f(x)=|\sin x|^{\alpha} \). È vero che: Scegli un'alternativa: per ogni \( \alpha>0, f \) non è derivabile in \( x=\pi x \) per ogni \( \alpha>0, f \) non è derivabile su in \( x=0 \) per ogni \( \alpha \in(0,1), f \) non ha punti di minimo assoluto \( f \) è derivabile su \( \mathbb{R} \) per ogni \( \alpha \geq 0 \) \( f \) è derivabile su \( \mathbb{R} \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha>1 \vee \alpha=0 \)

Per \( \alpha > 0 \), la funzione \( f(x) = |\sin x|^{\alpha} \) presenta dei punti di non derivabilità, in particolare in corrispondenza dei punti in cui \( \sin x = 0 \), ossia \( x = n\pi \) con \( n \) intero. Qui, la funzione non è derivabile perché il limite del rapporto incrementale non è ben definito a causa del cambio di segno della funzione \( \sin x \) che influisce sul modulo. Quindi, la risposta corretta è che per ogni \( \alpha > 0 \), \( f \) non è derivabile in \( x = n\pi \). Inoltre, per \( \alpha \in (0,1) \), la funzione \( f(x) \) non ha punti di minimo assoluto perché la funzione oscillante \( \sin x \) raggiunge valori in \( (0, 1) \) ma non mai uguale a zero, il che significa che non esiste un valore di \( x \) in cui \( f \) raggiunga il minimo totale considerato sull'intero dominio.