If $$ x $$ is so small that terms of $$ x^{3} $$ and higher can be ignored, show that: $$ (2+x)(1-3 x)^{5} \approx 2-29 x+165 x^{2} $$

Question

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Para aproximar $$(2 + x)(1 - 3x)^5$$ ignorando términos de $$x^3$$ y superiores, seguiremos estos pasos:

1. **Expandir $$(1 - 3x)^5$$ hasta el término de $$x^2$$:**

Utilizamos el binomio de Newton:

$$
   (1 - 3x)^5 \approx 1 + \binom{5}{1}(-3x) + \binom{5}{2}(-3x)^2
   $$

Calculando los coeficientes:

$$
   \binom{5}{1} = 5 \quad \text{y} \quad \binom{5}{2} = 10
   $$

Entonces:

$$
   (1 - 3x)^5 \approx 1 - 15x + 90x^2
   $$

2. **Multiplicar el resultado por $$(2 + x)$$:**

$$
   (2 + x)(1 - 15x + 90x^2) = 2(1 - 15x + 90x^2) + x(1 - 15x + 90x^2)
   $$

Realizando la multiplicación:

$$
   = 2 - 30x + 180x^2 + x - 15x^2 + 90x^3
   $$

3. **Ignorar términos de $$x^3$$ y superiores:**

Eliminamos el término $$90x^3$$:

$$
   2 - 30x + 180x^2 + x - 15x^2 = 2 - 29x + 165x^2
   $$

Por lo tanto, tenemos que:

$$
(2 + x)(1 - 3x)^5 \approx 2 - 29x + 165x^2
$$
$$ (2 + x)(1 - 3x)^5 \approx 2 - 29x + 165x^2 $$

If is so small that terms of and higher
can be ignored, show that: