24. \( \cos (x y)+\sin y=x y \quad \) 25. \( 2 x e^{x}+2 y e^{y}=4 \) 26. If \( f(x)+x^{2}[f(x)]^{3}=10 \) and \( f(1)=2 \), find \( f^{\prime}(1) \). 27. If \( g(x)+x \sin g(x)=x^{2} \), find \( g^{\prime}(0) \). Assume \( y \) is the independent variable and \( x \) is the dependent variable and use implicit differentiation to find \( \frac{d x}{d y} \). 28. \( x^{4} y^{2}-x^{3} y+2 x y^{3}=0 \) 29. \( y \sec x=x \tan y \) Use implicit differentiation to find an equation of the tangent line to the curve at the given point. 30. \( x^{2} y+2 x=15, \quad(3,1) \) 31. \( y \sin 2 x=x \cos 2 y, \quad\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right) \) 32. \( \sin (x+y)=2 x-2 y, \quad(\pi, \pi) \) 33. \( x^{2}-x y-y^{2}=1, \quad(2,1) \) 34. \( x^{2}+2 x y+4 y^{2}=12, \quad(2,1) \)

Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(y\): \(x^{2}y+2x=15\) - step1: Move the expression to the right side: \(x^{2}y=15-2x\) - step2: Divide both sides: \(\frac{x^{2}y}{x^{2}}=\frac{15-2x}{x^{2}}\) - step3: Divide the numbers: \(y=\frac{15-2x}{x^{2}}\) Solve the equation \( x^{2}-xy-y^{2}=1 \). Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(y\): \(x^{2}-xy-y^{2}=1\) - step1: Move the expression to the left side: \(x^{2}-xy-y^{2}-1=0\) - step2: Simplify: \(x^{2}-1-xy-y^{2}=0\) - step3: Rewrite in standard form: \(-y^{2}-xy+x^{2}-1=0\) - step4: Multiply both sides: \(y^{2}+xy-x^{2}+1=0\) - step5: Solve using the quadratic formula: \(y=\frac{-x\pm \sqrt{x^{2}-4\left(-x^{2}+1\right)}}{2}\) - step6: Simplify the expression: \(y=\frac{-x\pm \sqrt{5x^{2}-4}}{2}\) - step7: Separate into possible cases: \(\begin{align}&y=\frac{-x+\sqrt{5x^{2}-4}}{2}\\&y=\frac{-x-\sqrt{5x^{2}-4}}{2}\end{align}\) - step8: Rewrite the fraction: \(\begin{align}&y=\frac{-x+\sqrt{5x^{2}-4}}{2}\\&y=-\frac{x+\sqrt{5x^{2}-4}}{2}\end{align}\) Solve the equation \( x^{2}+2xy+4y^{2}=12 \). Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(y\): \(x^{2}+2xy+4y^{2}=12\) - step1: Move the expression to the left side: \(x^{2}+2xy+4y^{2}-12=0\) - step2: Simplify: \(x^{2}-12+2xy+4y^{2}=0\) - step3: Rewrite in standard form: \(4y^{2}+2xy+x^{2}-12=0\) - step4: Solve using the quadratic formula: \(y=\frac{-2x\pm \sqrt{\left(2x\right)^{2}-4\times 4\left(x^{2}-12\right)}}{2\times 4}\) - step5: Simplify the expression: \(y=\frac{-2x\pm \sqrt{\left(2x\right)^{2}-4\times 4\left(x^{2}-12\right)}}{8}\) - step6: Simplify the expression: \(y=\frac{-2x\pm \sqrt{-12x^{2}+192}}{8}\) - step7: Simplify the expression: \(y=\frac{-2x\pm 2\sqrt{48-3x^{2}}}{8}\) - step8: Separate into possible cases: \(\begin{align}&y=\frac{-2x+2\sqrt{48-3x^{2}}}{8}\\&y=\frac{-2x-2\sqrt{48-3x^{2}}}{8}\end{align}\) - step9: Simplify the expression: \(\begin{align}&y=\frac{-x+\sqrt{48-3x^{2}}}{4}\\&y=\frac{-2x-2\sqrt{48-3x^{2}}}{8}\end{align}\) - step10: Simplify the expression: \(\begin{align}&y=\frac{-x+\sqrt{48-3x^{2}}}{4}\\&y=-\frac{x+\sqrt{48-3x^{2}}}{4}\end{align}\) Vamos a resolver los problemas uno por uno, extrayendo las condiciones conocidas y utilizando la diferenciación implícita donde sea necesario. ### Problema 24 **Ecuación:** \( \cos (xy) + \sin y = xy \) No se encontró una solución directa para esta ecuación. ### Problema 25 **Ecuación:** \( 2xe^{x} + 2ye^{y} = 4 \) No se encontró una solución directa para esta ecuación. ### Problema 26 **Ecuación:** \( f(x) + x^{2}[f(x)]^{3} = 10 \) y \( f(1) = 2 \) Para encontrar \( f'(1) \), aplicamos la diferenciación implícita: 1. Derivamos ambos lados respecto a \( x \): \[ f'(x) + 2x f(x)^{3} + 3x^{2} f(x)^{2} f'(x) = 0 \] 2. Sustituyendo \( x = 1 \) y \( f(1) = 2 \): \[ f'(1) + 2(1)(2)^{3} + 3(1)^{2}(2)^{2} f'(1) = 0 \] \[ f'(1) + 16 + 12 f'(1) = 0 \] \[ 13 f'(1) = -16 \implies f'(1) = -\frac{16}{13} \] ### Problema 27 **Ecuación:** \( g(x) + x \sin g(x) = x^{2} \) Para encontrar \( g'(0) \): 1. Derivamos ambos lados respecto a \( x \): \[ g'(x) + \sin g(x) + x \cos g(x) g'(x) = 2x \] 2. Evaluamos en \( x = 0 \): \[ g'(0) + \sin g(0) = 0 \] Asumiendo \( g(0) = 0 \) (ya que \( g(0) + 0 = 0 \)), tenemos: \[ g'(0) + 0 = 0 \implies g'(0) = 0 \] ### Problema 28 **Ecuación:** \( x^{4}y^{2} - x^{3}y + 2xy^{3} = 0 \) No se encontró una solución directa para esta ecuación. ### Problema 29 **Ecuación:** \( y \sec x = x \tan y \) Para encontrar la derivada implícita: 1. Derivamos ambos lados respecto a \( x \): \[ \sec x \tan x \frac{dy}{dx} + y \sec x \tan x = \tan y + x \sec^{2} y \frac{dy}{dx} \] 2. Reorganizamos para encontrar \( \frac{dy}{dx} \). No se encontró una solución directa para esta ecuación. ### Problema 30 **Ecuación:** \( x^{2}y + 2x = 15 \) en el punto \( (3,1) \) 1. Derivamos: \[ 2xy + x^{2} \frac{dy}{dx} + 2 = 0 \] 2. Sustituyendo \( (3,1) \): \[ 2(3)(1) + 3^{2} \frac{dy}{dx} + 2 = 0 \implies 6 + 9 \frac{dy}{dx} + 2 = 0 \] \[ 9 \frac{dy}{dx} = -8 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{8}{9} \] ### Problema 31 **Ecuación:** \( y \sin 2x = x \cos 2y \) en el punto \( \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right) \) 1. Derivamos: \[ \sin 2x \frac{dy}{dx} + 2y \cos 2x = \cos 2y \frac{dy}{dx} - 2x \sin 2y \frac{dy}{dx} \] 2. Sustituyendo \( \left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right) \) y resolviendo para \( \frac{dy}{dx} \). No se encontró una solución directa para esta ecuación. ### Problema 32 **Ecuación:** \( \sin (x+y) = 2x - 2y \) en el punto \( (\pi, \pi) \) 1. Derivamos: \[ \cos(x+y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2 - 2 \frac{dy}{dx} \] 2. Sustituyendo \( (\pi, \pi) \) y resolviendo para \( \frac{dy}{dx} \). No se encontró una solución directa para esta ecuación. ### Problema 33 **Ecuación:** \( x^{2} - xy - y^{2} = 1 \) en el punto \( (2,1) \) 1. Derivamos: \[ 2x - y - x \frac{dy}{dx} - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \] 2. Sustituyendo \( (2,1) \): \[ 4 - 1 - 2 \frac{dy}{dx} - 2 \frac{dy}{dx} = 0 \implies 3 = 4 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3}{4} \] ### Problema 34 **Ecuación:** \( x^{2} + 2xy + 4y^{2} = 12 \) en el punto \( (2,1) \) 1. Derivamos: \[ 2x + 2y + 2x \frac{dy}{dx} + 8y \frac{dy}{dx} = 0 \] 2. Sustituyendo \( (2,1) \): \[ 4 + 2 + 2(2) \frac{dy}{dx} + 8(1) \frac{dy}{dx} = 0 \implies 6 + 20 \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{10} \]