16. $$ \int x^{2} \cdot e^{x^{3}} \cdot d x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Sea $$ u = x^{3} $$, entonces  
   $$
   \frac{du}{dx} = 3x^2 \quad \Rightarrow \quad du = 3x^2 \, dx
   $$
   De aquí se deduce:
   $$
   x^2\,dx = \frac{du}{3}
   $$

2. Sustituyendo en la integral original:
   $$
   \int x^2 \cdot e^{x^3}\,dx = \int e^{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int e^{u}\,du
   $$

3. La integral de $$ e^u $$ es:
   $$
   \int e^{u}\,du = e^u + C
   $$

4. Por lo tanto, la solución es:
   $$
   \frac{1}{3}\,e^u + C = \frac{1}{3}\,e^{x^3} + C
   $$
La integral $$ \int x^{2} \cdot e^{x^{3}} \, dx $$ se resuelve utilizando sustitución. Si $$ u = x^{3} $$, entonces $$ du = 3x^{2} \, dx $$, lo que simplifica la integral a $$ \frac{1}{3} \int e^{u} \, du $$. Al integrar $$ e^{u} $$, obtenemos $$ \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C $$.

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