Hallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado $$ \begin{array}{lll} ext { 3) } f(x)=\left(x^{2}+2 x ight) e^{x} ext { en }[0,3] & ext { 4) } f(x)=\frac{20 \sqrt{x^{2}-9}}{x} ext { en }[3,5] & ext { 5) } f(x)=\frac{8 x^{2}+17 x+14}{(x+1)^{2}(x+2)} ext { en }[0,4]\end{array} $$

Question

Hallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado $$ \begin{array}{lll}	ext { 3) } f(x)=\left(x^{2}+2 xight) e^{x} 	ext { en }[0,3] & 	ext { 4) } f(x)=\frac{20 \sqrt{x^{2}-9}}{x} 	ext { en }[3,5] & 	ext { 5) } f(x)=\frac{8 x^{2}+17 x+14}{(x+1)^{2}(x+2)} 	ext { en }[0,4]\end{array} $$

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Para hallar el valor promedio de una función $$ f(x) $$ en un intervalo $$[a, b]$$, utilizamos la siguiente fórmula:

$$
\text{Valor Promedio} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx
$$

A continuación, resolvemos cada uno de los casos planteados:

---

**3) $$ f(x) = (x^{2} + 2x)e^{x} $$ en $$[0, 3]$$**

Aplicamos la fórmula del valor promedio:

$$
\text{Valor Promedio} = \frac{1}{3 - 0} \int_{0}^{3} (x^{2} + 2x)e^{x} \, dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} (x^{2} + 2x)e^{x} \, dx
$$

Calculamos la integral:

$$
\int (x^{2} + 2x)e^{x} \, dx = x^{2}e^{x} - 2x e^{x} + 2e^{x} + C
$$

Evaluando de 0 a 3:

$$
\left[ x^{2}e^{x} \right]_{0}^{3} = 3^{2}e^{3} - 0 = 9e^{3}
$$

Entonces:

$$
\text{Valor Promedio} = \frac{1}{3} \times 9e^{3} = 3e^{3} \approx 60.26
$$

---

**4) $$ f(x) = \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} $$ en $$[3, 5]$$**

Aplicamos la fórmula del valor promedio:

$$
\text{Valor Promedio} = \frac{1}{5 - 3} \int_{3}^{5} \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx = 10 \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx
$$

Resolviendo la integral mediante sustitución trigonométrica $$ x = 3 \sec \theta $$:

$$
\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx = \sqrt{x^{2} - 9} - 3 \arccos\left(\frac{3}{x}\right) + C
$$

Evaluando de 3 a 5:

$$
\left[ \sqrt{x^{2} - 9} - 3 \arccos\left(\frac{3}{x}\right) \right]_{3}^{5} = 4 - 3 \arccos\left(\frac{3}{5}\right)
$$

Calculando numéricamente:

$$
\arccos\left(\frac{3}{5}\right) \approx 0.9273 \text{ radianes}
$$
$$
4 - 3 \times 0.9273 \approx 1.2181
$$
$$
\text{Valor Promedio} \approx 10 \times 1.2181 = 12.18
$$

---

**5) $$ f(x) = \frac{8x^{2} + 17x + 14}{(x + 1)^{2}(x + 2)} $$ en $$[0, 4]$$**

Primero descomponemos la fracción en fracciones parciales:

$$
\frac{8x^{2} + 17x + 14}{(x + 1)^{2}(x + 2)} = \frac{-4}{x + 1} + \frac{5}{(x + 1)^{2}} + \frac{12}{x + 2}
$$

Aplicamos la fórmula del valor promedio:

$$
\text{Valor Promedio} = \frac{1}{4} \int_{0}^{4} \left( \frac{-4}{x + 1} + \frac{5}{(x + 1)^{2}} + \frac{12}{x + 2} \right) dx
$$

Calculamos cada integral:

$$
\int \frac{-4}{x + 1} \, dx = -4 \ln|x + 1|
$$
$$
\int \frac{5}{(x + 1)^{2}} \, dx = -\frac{5}{x + 1}
$$
$$
\int \frac{12}{x + 2} \, dx = 12 \ln|x + 2|
$$

Evaluando de 0 a 4:

$$
\left[ -4 \ln(5) - 1 + 12 \ln(6) \right] - \left[ -5 + 12 \ln(2) \right] = -4 \ln5 + 4 + 12 \ln3
$$

Entonces:

$$
\text{Valor Promedio} = \frac{-4 \ln5 + 4 + 12 \ln3}{4} = -\ln5 + 1 + 3\ln3 \approx 2.69
$$

---

**Resumen de los valores promedio:**

1. **Problema 3:** $$ 3e^{3} \approx 60.26 $$
2. **Problema 4:** $$ \approx 12.18 $$
3. **Problema 5:** $$ \approx 2.69 $$
**Valores Promedio:** 1. **Problema 3:** Aproximadamente 60.26 2. **Problema 4:** Aproximadamente 12.18 3. **Problema 5:** Aproximadamente 2.69

Hallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado

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