Hallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado \( \begin{array}{lll}\text { 3) } f(x)=\left(x^{2}+2 x\right) e^{x} \text { en }[0,3] & \text { 4) } f(x)=\frac{20 \sqrt{x^{2}-9}}{x} \text { en }[3,5] & \text { 5) } f(x)=\frac{8 x^{2}+17 x+14}{(x+1)^{2}(x+2)} \text { en }[0,4]\end{array} \)

Para hallar el valor promedio de una función \( f(x) \) en un intervalo \([a, b]\), utilizamos la siguiente fórmula: \[ \text{Valor Promedio} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] A continuación, resolvemos cada uno de los casos planteados: --- **3) \( f(x) = (x^{2} + 2x)e^{x} \) en \([0, 3]\)** Aplicamos la fórmula del valor promedio: \[ \text{Valor Promedio} = \frac{1}{3 - 0} \int_{0}^{3} (x^{2} + 2x)e^{x} \, dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} (x^{2} + 2x)e^{x} \, dx \] Calculamos la integral: \[ \int (x^{2} + 2x)e^{x} \, dx = x^{2}e^{x} - 2x e^{x} + 2e^{x} + C \] Evaluando de 0 a 3: \[ \left[ x^{2}e^{x} \right]_{0}^{3} = 3^{2}e^{3} - 0 = 9e^{3} \] Entonces: \[ \text{Valor Promedio} = \frac{1}{3} \times 9e^{3} = 3e^{3} \approx 60.26 \] --- **4) \( f(x) = \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} \) en \([3, 5]\)** Aplicamos la fórmula del valor promedio: \[ \text{Valor Promedio} = \frac{1}{5 - 3} \int_{3}^{5} \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx = 10 \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx \] Resolviendo la integral mediante sustitución trigonométrica \( x = 3 \sec \theta \): \[ \int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx = \sqrt{x^{2} - 9} - 3 \arccos\left(\frac{3}{x}\right) + C \] Evaluando de 3 a 5: \[ \left[ \sqrt{x^{2} - 9} - 3 \arccos\left(\frac{3}{x}\right) \right]_{3}^{5} = 4 - 3 \arccos\left(\frac{3}{5}\right) \] Calculando numéricamente: \[ \arccos\left(\frac{3}{5}\right) \approx 0.9273 \text{ radianes} \] \[ 4 - 3 \times 0.9273 \approx 1.2181 \] \[ \text{Valor Promedio} \approx 10 \times 1.2181 = 12.18 \] --- **5) \( f(x) = \frac{8x^{2} + 17x + 14}{(x + 1)^{2}(x + 2)} \) en \([0, 4]\)** Primero descomponemos la fracción en fracciones parciales: \[ \frac{8x^{2} + 17x + 14}{(x + 1)^{2}(x + 2)} = \frac{-4}{x + 1} + \frac{5}{(x + 1)^{2}} + \frac{12}{x + 2} \] Aplicamos la fórmula del valor promedio: \[ \text{Valor Promedio} = \frac{1}{4} \int_{0}^{4} \left( \frac{-4}{x + 1} + \frac{5}{(x + 1)^{2}} + \frac{12}{x + 2} \right) dx \] Calculamos cada integral: \[ \int \frac{-4}{x + 1} \, dx = -4 \ln|x + 1| \] \[ \int \frac{5}{(x + 1)^{2}} \, dx = -\frac{5}{x + 1} \] \[ \int \frac{12}{x + 2} \, dx = 12 \ln|x + 2| \] Evaluando de 0 a 4: \[ \left[ -4 \ln(5) - 1 + 12 \ln(6) \right] - \left[ -5 + 12 \ln(2) \right] = -4 \ln5 + 4 + 12 \ln3 \] Entonces: \[ \text{Valor Promedio} = \frac{-4 \ln5 + 4 + 12 \ln3}{4} = -\ln5 + 1 + 3\ln3 \approx 2.69 \] --- **Resumen de los valores promedio:** 1. **Problema 3:** \( 3e^{3} \approx 60.26 \) 2. **Problema 4:** \( \approx 12.18 \) 3. **Problema 5:** \( \approx 2.69 \)