$$ \int \frac { 3 / \sqrt { a ^ { 3 } y ^ { 4 } } x d x } { 4 / 3 a ^ { 2 } b ^ { 3 } x ^ { 2 } + 6 } $$

Question

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Para resolver la integral

$$
\int \frac{3 / \sqrt{a^3 y^4} \, x \, dx}{\frac{4}{3} a^2 b^3 x^2 + 6},
$$

primero simplificamos la expresión. Observamos que el numerador es $$ \frac{3}{\sqrt{a^3 y^4}} x $$ y el denominador es $$ \frac{4}{3} a^2 b^3 x^2 + 6 $$.

Podemos reescribir la integral como:

$$
\int \frac{3x \, dx}{\sqrt{a^3 y^4} \left( \frac{4}{3} a^2 b^3 x^2 + 6 \right)}.
$$

Ahora, para facilitar la integración, podemos hacer un cambio de variable. Sea:

$$
u = \frac{4}{3} a^2 b^3 x^2 + 6.
$$

Entonces, derivando $$ u $$ con respecto a $$ x $$:

$$
\frac{du}{dx} = \frac{8}{3} a^2 b^3 x,
$$

lo que implica que:

$$
du = \frac{8}{3} a^2 b^3 x \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{3}{8 a^2 b^3 x} \, du.
$$

Sustituyendo $$ dx $$ en la integral, obtenemos:

$$
\int \frac{3x \cdot \frac{3}{8 a^2 b^3 x} \, du}{\sqrt{a^3 y^4} u}.
$$

Los $$ x $$ se cancelan:

$$
\int \frac{9}{8 a^2 b^3 \sqrt{a^3 y^4}} \cdot \frac{1}{u} \, du.
$$

La integral de $$ \frac{1}{u} $$ es $$ \ln |u| $$, así que tenemos:

$$
\frac{9}{8 a^2 b^3 \sqrt{a^3 y^4}} \ln |u| + C.
$$

Finalmente, sustituimos $$ u $$ de nuevo:

$$
\frac{9}{8 a^2 b^3 \sqrt{a^3 y^4}} \ln \left| \frac{4}{3} a^2 b^3 x^2 + 6 \right| + C.
$$

Por lo tanto, la solución de la integral es:

$$
\int \frac{3 / \sqrt{a^3 y^4} \, x \, dx}{\frac{4}{3} a^2 b^3 x^2 + 6} = \frac{9}{8 a^2 b^3 \sqrt{a^3 y^4}} \ln \left| \frac{4}{3} a^2 b^3 x^2 + 6 \right| + C.
$$
Para resolver la integral $$ \int \frac{3 / \sqrt{a^3 y^4} \, x \, dx}{\frac{4}{3} a^2 b^3 x^2 + 6}, $$ simplifiquemos la expresión y realicemos un cambio de variable. La solución es: $$ \frac{9}{8 a^2 b^3 \sqrt{a^3 y^4}} \ln \left| \frac{4}{3} a^2 b^3 x^2 + 6 \right| + C. $$

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