$$ \quad y^{\prime \prime}(t)-4 y^{\prime}(t)+4 y(t)=3 \delta(t-1)+\delta(t-2), \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=1 $$ Reporte la solución analítica obtenida y grafiquela.

Question

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La solución se obtiene aplicando la transformada de Laplace. Se parte de la ecuación

$$
y''(t) - 4y'(t) + 4y(t)= 3 \delta(t-1)+\delta(t-2), \quad y(0)=1, \quad y'(0)=1.
$$

### 1. Transformada de Laplace de la Ecuación

Recordemos que
$$
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)= sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{y''(t)\}(s)= s^2 Y(s)-sy(0)-y'(0),
$$
y que la transformada de la función delta es
$$
\mathcal{L}\{\delta(t-a)\}(s)= e^{-as}.
$$

Aplicando la transformada de Laplace a cada término se tiene

$$
s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)-4\Big[sY(s)-y(0)\Big]+4Y(s)= 3e^{-s}+e^{-2s}.
$$

Con $$ y(0)=1 $$ y $$ y'(0)=1 $$, se obtiene

$$
s^2Y(s)-s-1-4sY(s)+4+4Y(s)= 3e^{-s}+e^{-2s}.
$$

Agrupando los términos en $$ Y(s) $$ y los constantes:

$$
\big(s^2 - 4s + 4\big)Y(s) - s + 3 = 3e^{-s}+e^{-2s}.
$$

Observamos que el polinomio se factoriza como
$$
s^2-4s+4= (s-2)^2.
$$

Por lo tanto,

$$
(s-2)^2Y(s)= s-3+3e^{-s}+e^{-2s},
$$
y se tiene

$$
Y(s)=\frac{s-3}{(s-2)^2} + \frac{3e^{-s}}{(s-2)^2} + \frac{e^{-2s}}{(s-2)^2}.
$$

### 2. Inversa de la Transformada de Laplace

Observamos tres términos, de los cuales el primero corresponde a la solución sin forzamiento y los otros dos se tratan mediante la propiedad de traslación:

#### a) Término sin retardo

Consideramos

$$
\frac{s-3}{(s-2)^2}.
$$

Notamos que podemos escribir
$$
\frac{s-3}{(s-2)^2}=\frac{(s-2)-1}{(s-2)^2}=\frac{1}{s-2}-\frac{1}{(s-2)^2}.
$$

Conocemos las transformadas inversas:
$$
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s-2}\Big\}(t)=e^{2t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{(s-2)^2}\Big\}(t)=t e^{2t}.
$$

Por ello,
$$
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{s-3}{(s-2)^2}\Big\}(t)= e^{2t}-t e^{2t}.
$$

#### b) Primer término con retardo

Para el segundo término

$$
\frac{3e^{-s}}{(s-2)^2},
$$
usamos la propiedad de traslación de la transformada de Laplace:

$$
\mathcal{L}^{-1} \left\{e^{-as} F(s)\right\}(t)= u(t-a) f(t-a),
$$
donde $$ f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t) $$.

Con $$ a=1 $$ y $$ F(s)=\frac{3}{(s-2)^2} $$ se tiene que la transformada inversa de $$ \frac{1}{(s-2)^2} $$ es $$ t e^{2t} $$; de allí,
$$
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{3e^{-s}}{(s-2)^2}\Big\}(t)= 3u(t-1)(t-1)e^{2(t-1)}.
$$

#### c) Segundo término con retardo

De forma similar, para el tercer término

$$
\frac{e^{-2s}}{(s-2)^2},
$$
usando $$ a=2 $$ se obtiene

$$
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{e^{-2s}}{(s-2)^2}\Big\}(t)= u(t-2)(t-2)e^{2(t-2)}.
$$

### 3. Solución Analítica Final

Sumando las tres contribuciones se tiene

$$
y(t)= e^{2t}-t e^{2t}+ 3 u(t-1)(t-1)e^{2(t-1)}+ u(t-2)(t-2)e^{2(t-2)},
$$
donde $$ u(t-a) $$ es la función escalón de Heaviside que vale 0 para $$ t=1, 3*(t-1)*np.exp(2*(t-1)), 0)
    # Agregar el término con retardo en t=2
    y_val += np.where(t>=2, (t-2)*np.exp(2*(t-2)), 0)
    return y_val

t = np.linspace(0, 5, 500)
y_t = y(t)

plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.plot(t, y_t, label="$y(t)$")
plt.title("Solución de $y''(t)-4y'(t)+4y(t)=3\delta(t-1)+\delta(t-2)$")
plt.xlabel("$t$")
plt.ylabel("$y(t)$")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
```

La función $$ y(t) $$ se define considerando los términos con desplazamiento introducidos por las funciones de Heaviside $$ u(t-1) $$ y $$ u(t-2) $$.

---

La solución final es

$$
\boxed{y(t)= e^{2t}-t e^{2t}+ 3 u(t-1)(t-1)e^{2(t-1)}+ u(t-2)(t-2)e^{2(t-2)}.}
$$
La solución analítica de la ecuación diferencial es: $$ y(t) = e^{2t} - t e^{2t} + 3 u(t-1)(t-1)e^{2(t-1)} + u(t-2)(t-2)e^{2(t-2)} $$ Donde $$ u(t-a) $$ es la función escalón de Heaviside que es 0 para $$ t < a $$ y 1 para $$ t \geq a $$. Para graficar la solución, puedes usar el siguiente código en Python: ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def y(t): y_val = np.exp(2*t) - t*np.exp(2*t) y_val += np.where(t>=1, 3*(t-1)*np.exp(2*(t-1)), 0) y_val += np.where(t>=2, (t-2)*np.exp(2*(t-2)), 0) return y_val t = np.linspace(0, 5, 500) y_t = y(t) plt.figure(figsize=(8, 4)) plt.plot(t, y_t, label="$y(t)$") plt.title("Solución de $y''(t)-4y'(t)+4y(t)=3\delta(t-1)+\delta(t-2)$") plt.xlabel("$t$") plt.ylabel("$y(t)$") plt.grid(True) plt.legend() plt.show() ``` Esta gráfica muestra la evolución de $$ y(t) $$ con el tiempo, teniendo en cuenta los saltos introducidos por las funciones de Heaviside en $$ t=1 $$ y $$ t=2 $$.

Reporte la solución analítica obtenida y grafiquela.

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