$$ 13 x^{2}+8=0 $$ $$ (x-3)^{2}=25 $$ 3. $$ (5 x+1)^{2}=(7 x-2)^{2} $$ $$ 6-(1-x)^{2}=(2 x-3)^{2}-(3 x+2)^{2} $$ 5. $$ x^{2}-250 $$ 6. $$ x(x+6) \geqslant 6 x-8 $$ 7. $$ 2 x(x-2)-7)-4(x+3) $$

Question

$$ 13 x^{2}+8=0 $$ $$ (x-3)^{2}=25 $$ 3. $$ (5 x+1)^{2}=(7 x-2)^{2} $$ $$ 6-(1-x)^{2}=(2 x-3)^{2}-(3 x+2)^{2} $$ 5. $$ x^{2}-25>0 $$ 6. $$ x(x+6) \geqslant 6 x-8 $$ 7. $$ 2 x(x-2)-7)-4(x+3) $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Oczywiście, rozwiążmy kolejno podane równania i nierówności. --- **1. $$ 13x^{2} + 8 = 0 $$** Rozwiązujemy równanie kwadratowe: $$ 13x^{2} + 8 = 0 $$ Przekształcamy równanie: $$ 13x^{2} = -8 $$ $$ x^{2} = -\frac{8}{13} $$ Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Jednak w zbiorze liczb zespolonych rozwiązania są: $$ x = \pm \sqrt{-\frac{8}{13}} = \pm i \sqrt{\frac{8}{13}} = \pm i \frac{2\sqrt{26}}{13} $$ --- **2. $$ (x - 3)^{2} = 25 $$** Rozwiązujemy równanie: $$ (x - 3)^{2} = 25 $$ $$ x - 3 = \pm 5 $$ Stąd: $$ x = 3 + 5 = 8 $$ $$ x = 3 - 5 = -2 $$ **Rozwiązania: $$ x = 8 $$ oraz $$ x = -2 $$.** --- **3. $$ (5x + 1)^{2} = (7x - 2)^{2} $$** Rozwiązujemy równanie: $$ (5x + 1)^{2} = (7x - 2)^{2} $$ Rozwijamy oba boki: $$ (5x + 1)^2 - (7x - 2)^2 = 0 $$ $$ (5x + 1 - 7x + 2)(5x + 1 + 7x - 2) = 0 $$ $$ (-2x + 3)(12x - 1) = 0 $$ Stąd: 1. $$ -2x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} $$ 2. $$ 12x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{12} $$ **Rozwiązania: $$ x = \frac{3}{2} $$ oraz $$ x = \frac{1}{12} $$.** --- **4. $$ 6 - (1 - x)^{2} = (2x - 3)^{2} - (3x + 2)^{2} $$** Rozwiązujemy równanie krok po kroku. Najpierw obliczamy prawą stronę: $$ (2x - 3)^2 - (3x + 2)^2 $$ Stosujemy wzór na różnicę kwadratów: $$ (2x - 3)^2 - (3x + 2)^2 = [(2x - 3) - (3x + 2)][(2x - 3) + (3x + 2)] $$ $$ = (-x - 5)(5x - 1) = - (x + 5)(5x -1) $$ Teraz równanie przyjmuje postać: $$ 6 - (1 - x)^2 = - (x + 5)(5x -1) $$ Rozwijamy lewą stronę: $$ (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 $$ $$ 6 - (1 - 2x + x^2) = 6 - 1 + 2x - x^2 = 5 + 2x - x^2 $$ Zatem równanie: $$ 5 + 2x - x^2 = - (x + 5)(5x -1) $$ $$ 5 + 2x - x^2 = -5x^2 -24x +5 $$ Przenosimy wszystko na lewą stronę: $$ 5 + 2x - x^2 + 5x^2 + 24x - 5 = 0 $$ $$ 4x^2 + 26x = 0 $$ $$ 2x (2x + 13) = 0 $$ Stąd: 1. $$ 2x = 0 \Rightarrow x = 0 $$ 2. $$ 2x + 13 = 0 \Rightarrow x = -\frac{13}{2} $$ **Rozwiązania: $$ x = 0 $$ oraz $$ x = -\frac{13}{2} $$.** --- **5. $$ x^{2} - 25 > 0 $$** Rozwiązujemy nierówność: $$ x^2 -25 > 0 $$ $$ (x -5)(x +5) > 0 $$ Iloczyn jest dodatni, gdy oba nawiasy są dodatnie lub oba ujemne: 1. $$ x -5 >0 $$ i $$ x +5 >0 \Rightarrow x >5 $$ 2. $$ x -5 <0 $$ i $$ x +5 <0 \Rightarrow x < -5 $$ **Rozwiązanie: $$ x < -5 $$ lub $$ x > 5 $$.** --- **6. $$ x(x +6) \geqslant 6x -8 $$** Przenosimy wszystko na lewą stronę: $$ x(x +6) -6x +8 \geq 0 $$ $$ x^2 +6x -6x +8 \geq 0 $$ $$ x^2 +8 \geq 0 $$ Funkcja $$ x^2 +8 $$ jest zawsze większa lub równa 8, więc nierówność jest zawsze spełniona dla każdego $$ x \in \mathbb{R} $$. **Rozwiązanie: Dla każdego rzeczywistego $$ x $$.** --- **7. $$ 2x(x-2) -7) -4(x+3) $$** Wyrażenie wydaje się zawierać błąd w nawiasach. Zakładam, że chodziło o równanie: $$ 2x(x - 2) -7 -4(x +3) = 0 $$ Rozwiązujemy równanie: $$ 2x(x - 2) -7 -4(x +3) =0 $$ $$ 2x^2 -4x -7 -4x -12 =0 $$ $$ 2x^2 -8x -19 =0 $$ Stosujemy wzór kwadratowy: $$ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 152}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{216}}{4} = \frac{8 \pm 6\sqrt{6}}{4} = \frac{4 \pm 3\sqrt{6}}{2} $$ $$ x = 2 \pm \frac{3\sqrt{6}}{2} $$ **Rozwiązania:** $$ x = 2 + \frac{3\sqrt{6}}{2} $$ $$ x = 2 - \frac{3\sqrt{6}}{2} $$ Jeżeli wyrażenie w punkcie 7 miało inną postać, proszę o sprostowanie. --- Oto skrócone rozwiązania: 1. $$ x = \pm i \frac{2\sqrt{26}}{13} $$ 2. $$ x = 8 $$ lub $$ x = -2 $$ 3. $$ x = \frac{3}{2} $$ lub $$ x = \frac{1}{12} $$ 4. $$ x = 0 $$ lub $$ x = -\frac{13}{2} $$ 5. $$ x < -5 $$ lub $$ x > 5 $$ 6. Dla każdego rzeczywistego $$ x $$ 7. $$ x = 2 + \frac{3\sqrt{6}}{2} $$ lub $$ x = 2 - \frac{3\sqrt{6}}{2} $$

3.

5.
6.
7.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Algebra Questions

3. 5. 6. 7.