\( 13 x^{2}+8=0 \) \( (x-3)^{2}=25 \) 3. \( (5 x+1)^{2}=(7 x-2)^{2} \) \( 6-(1-x)^{2}=(2 x-3)^{2}-(3 x+2)^{2} \) 5. \( x^{2}-25>0 \) 6. \( x(x+6) \geqslant 6 x-8 \) 7. \( 2 x(x-2)-7)-4(x+3) \)

Oczywiście, rozwiążmy kolejno podane równania i nierówności. --- **1. \( 13x^{2} + 8 = 0 \)** Rozwiązujemy równanie kwadratowe: \[ 13x^{2} + 8 = 0 \] Przekształcamy równanie: \[ 13x^{2} = -8 \] \[ x^{2} = -\frac{8}{13} \] Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Jednak w zbiorze liczb zespolonych rozwiązania są: \[ x = \pm \sqrt{-\frac{8}{13}} = \pm i \sqrt{\frac{8}{13}} = \pm i \frac{2\sqrt{26}}{13} \] --- **2. \( (x - 3)^{2} = 25 \)** Rozwiązujemy równanie: \[ (x - 3)^{2} = 25 \] \[ x - 3 = \pm 5 \] Stąd: \[ x = 3 + 5 = 8 \] \[ x = 3 - 5 = -2 \] **Rozwiązania: \( x = 8 \) oraz \( x = -2 \).** --- **3. \( (5x + 1)^{2} = (7x - 2)^{2} \)** Rozwiązujemy równanie: \[ (5x + 1)^{2} = (7x - 2)^{2} \] Rozwijamy oba boki: \[ (5x + 1)^2 - (7x - 2)^2 = 0 \] \[ (5x + 1 - 7x + 2)(5x + 1 + 7x - 2) = 0 \] \[ (-2x + 3)(12x - 1) = 0 \] Stąd: 1. \( -2x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \) 2. \( 12x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{12} \) **Rozwiązania: \( x = \frac{3}{2} \) oraz \( x = \frac{1}{12} \).** --- **4. \( 6 - (1 - x)^{2} = (2x - 3)^{2} - (3x + 2)^{2} \)** Rozwiązujemy równanie krok po kroku. Najpierw obliczamy prawą stronę: \[ (2x - 3)^2 - (3x + 2)^2 \] Stosujemy wzór na różnicę kwadratów: \[ (2x - 3)^2 - (3x + 2)^2 = [(2x - 3) - (3x + 2)][(2x - 3) + (3x + 2)] \] \[ = (-x - 5)(5x - 1) = - (x + 5)(5x -1) \] Teraz równanie przyjmuje postać: \[ 6 - (1 - x)^2 = - (x + 5)(5x -1) \] Rozwijamy lewą stronę: \[ (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 \] \[ 6 - (1 - 2x + x^2) = 6 - 1 + 2x - x^2 = 5 + 2x - x^2 \] Zatem równanie: \[ 5 + 2x - x^2 = - (x + 5)(5x -1) \] \[ 5 + 2x - x^2 = -5x^2 -24x +5 \] Przenosimy wszystko na lewą stronę: \[ 5 + 2x - x^2 + 5x^2 + 24x - 5 = 0 \] \[ 4x^2 + 26x = 0 \] \[ 2x (2x + 13) = 0 \] Stąd: 1. \( 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \) 2. \( 2x + 13 = 0 \Rightarrow x = -\frac{13}{2} \) **Rozwiązania: \( x = 0 \) oraz \( x = -\frac{13}{2} \).** --- **5. \( x^{2} - 25 > 0 \)** Rozwiązujemy nierówność: \[ x^2 -25 > 0 \] \[ (x -5)(x +5) > 0 \] Iloczyn jest dodatni, gdy oba nawiasy są dodatnie lub oba ujemne: 1. \( x -5 >0 \) i \( x +5 >0 \Rightarrow x >5 \) 2. \( x -5 <0 \) i \( x +5 <0 \Rightarrow x < -5 \) **Rozwiązanie: \( x < -5 \) lub \( x > 5 \).** --- **6. \( x(x +6) \geqslant 6x -8 \)** Przenosimy wszystko na lewą stronę: \[ x(x +6) -6x +8 \geq 0 \] \[ x^2 +6x -6x +8 \geq 0 \] \[ x^2 +8 \geq 0 \] Funkcja \( x^2 +8 \) jest zawsze większa lub równa 8, więc nierówność jest zawsze spełniona dla każdego \( x \in \mathbb{R} \). **Rozwiązanie: Dla każdego rzeczywistego \( x \).** --- **7. \( 2x(x-2) -7) -4(x+3) \)** Wyrażenie wydaje się zawierać błąd w nawiasach. Zakładam, że chodziło o równanie: \[ 2x(x - 2) -7 -4(x +3) = 0 \] Rozwiązujemy równanie: \[ 2x(x - 2) -7 -4(x +3) =0 \] \[ 2x^2 -4x -7 -4x -12 =0 \] \[ 2x^2 -8x -19 =0 \] Stosujemy wzór kwadratowy: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 152}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{216}}{4} = \frac{8 \pm 6\sqrt{6}}{4} = \frac{4 \pm 3\sqrt{6}}{2} \] \[ x = 2 \pm \frac{3\sqrt{6}}{2} \] **Rozwiązania:** \[ x = 2 + \frac{3\sqrt{6}}{2} \] \[ x = 2 - \frac{3\sqrt{6}}{2} \] Jeżeli wyrażenie w punkcie 7 miało inną postać, proszę o sprostowanie. ---