\[ k(x)=-x\left(3 x^{2}+20\right) \] a) Déterminer \( k^{\prime}(x) \) et étudier sorì signe.

a) **Détermination de \( k^{\prime}(x) \) et étude de son signe** Soit la fonction \( k(x) = -x(3x^{2} + 20) \). **1. Calcul de la dérivée \( k^{\prime}(x) \) :** Utilisons la règle du produit pour dériver \( k(x) \). \[ k(x) = -x \cdot (3x^{2} + 20) \] Soit : - \( u(x) = -x \) avec \( u^{\prime}(x) = -1 \), - \( v(x) = 3x^{2} + 20 \) avec \( v^{\prime}(x) = 6x \). Alors, la dérivée de \( k(x) \) est : \[ k^{\prime}(x) = u^{\prime}(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^{\prime}(x) \] \[ k^{\prime}(x) = (-1)(3x^{2} + 20) + (-x)(6x) \] \[ k^{\prime}(x) = -3x^{2} - 20 - 6x^{2} \] \[ k^{\prime}(x) = -9x^{2} - 20 \] **2. Étude du signe de \( k^{\prime}(x) \) :** Analysons le signe de la dérivée obtenue : \[ k^{\prime}(x) = -9x^{2} - 20 \] Remarquons que : - \( -9x^{2} \) est toujours négatif ou nul puisque \( x^{2} \geq 0 \), - \( -20 \) est une constante négative. Ainsi, pour tout \( x \in \mathbb{R} \) : \[ k^{\prime}(x) = -9x^{2} - 20 < 0 \] **Conclusion :** La dérivée \( k^{\prime}(x) \) est toujours négative pour tout nombre réel \( x \). Par conséquent, la fonction \( k(x) \) est strictement décroissante sur \( \mathbb{R} \).