$$ k(x)=-x\left(3 x^{2}+20\right) $$ a) Déterminer $$ k^{\prime}(x) $$ et étudier sorì signe.

Question

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a) **Détermination de $$ k^{\prime}(x) $$ et étude de son signe**

Soit la fonction $$ k(x) = -x(3x^{2} + 20) $$.

**1. Calcul de la dérivée $$ k^{\prime}(x) $$ :**

Utilisons la règle du produit pour dériver $$ k(x) $$.

$$ k(x) = -x \cdot (3x^{2} + 20) $$

Soit :
- $$ u(x) = -x $$ avec $$ u^{\prime}(x) = -1 $$,
- $$ v(x) = 3x^{2} + 20 $$ avec $$ v^{\prime}(x) = 6x $$.

Alors, la dérivée de $$ k(x) $$ est :

$$
k^{\prime}(x) = u^{\prime}(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^{\prime}(x)
$$

$$
k^{\prime}(x) = (-1)(3x^{2} + 20) + (-x)(6x)
$$

$$
k^{\prime}(x) = -3x^{2} - 20 - 6x^{2}
$$

$$
k^{\prime}(x) = -9x^{2} - 20
$$

**2. Étude du signe de $$ k^{\prime}(x) $$ :**

Analysons le signe de la dérivée obtenue :

$$
k^{\prime}(x) = -9x^{2} - 20
$$

Remarquons que :
- $$ -9x^{2} $$ est toujours négatif ou nul puisque $$ x^{2} \geq 0 $$,
- $$ -20 $$ est une constante négative.

Ainsi, pour tout $$ x \in \mathbb{R} $$ :

$$
k^{\prime}(x) = -9x^{2} - 20 < 0
$$

**Conclusion :**

La dérivée $$ k^{\prime}(x) $$ est toujours négative pour tout nombre réel $$ x $$. Par conséquent, la fonction $$ k(x) $$ est strictement décroissante sur $$ \mathbb{R} $$.
a) **Dérivée et signe** La dérivée de $$ k(x) = -x(3x^{2} + 20) $$ est $$ k^{\prime}(x) = -9x^{2} - 20 $$. Cette dérivée est toujours négative pour tout $$ x $$, ce qui signifie que $$ k(x) $$ est strictement décroissante sur tout $$ \mathbb{R} $$.

\[ k(x)=-x\left(3 x^{2}+20\right) \] a) Déterminer \( k^{\prime}(x) \) et étudier sorì signe.

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