Caludor le longitud de ancu de la unaa \( y=x^{2}-4 \) dende \( x=0 \) hester \( x=4 \)

Para calcular la longitud de arco de la función \( y = x^{2} - 4 \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 4 \), utilizamos la fórmula de la longitud de arco: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] **Paso 1: Calcular la derivada \( \frac{dy}{dx} \)** Para la función dada: \[ y = x^{2} - 4 \] \[ \frac{dy}{dx} = 2x \] **Paso 2: Sustituir en la fórmula de longitud de arco** \[ L = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + 4x^{2}} \, dx \] **Paso 3: Resolver la integral** La integral \(\int \sqrt{1 + 4x^{2}} \, dx\) se resuelve utilizando sustitución trigonométrica o métodos de integración estándar. La solución indefinida es: \[ \int \sqrt{1 + 4x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{1 + 4x^{2}} + \frac{1}{4} \ln\left(2x + \sqrt{4x^{2} + 1}\right) + C \] **Paso 4: Evaluar la integral definida de 0 a 4** \[ L = \left[ \frac{x}{2} \sqrt{1 + 4x^{2}} + \frac{1}{4} \ln\left(2x + \sqrt{4x^{2} + 1}\right) \right]_{0}^{4} \] Evaluando en \( x = 4 \): \[ \frac{4}{2} \sqrt{1 + 4(4)^2} = 2 \sqrt{1 + 64} = 2 \sqrt{65} \approx 16.1245 \] \[ \frac{1}{4} \ln\left(8 + \sqrt{65}\right) \approx \frac{1}{4} \ln(16.0623) \approx 0.6942 \] Sumando ambos resultados: \[ L \approx 16.1245 + 0.6942 = 16.8187 \] **Resultado Final:** La longitud de arco de la curva \( y = x^{2} - 4 \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 4 \) es aproximadamente **16.82 unidades**.