Caludor le longitud de ancu de la unaa $$ y=x^{2}-4 $$ dende $$ x=0 $$ hester $$ x=4 $$

Question

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Para calcular la longitud de arco de la función $$ y = x^{2} - 4 $$ desde $$ x = 0 $$ hasta $$ x = 4 $$, utilizamos la fórmula de la longitud de arco:

$$
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx
$$

**Paso 1: Calcular la derivada $$ \frac{dy}{dx} $$**

Para la función dada:
$$
y = x^{2} - 4
$$
$$
\frac{dy}{dx} = 2x
$$

**Paso 2: Sustituir en la fórmula de longitud de arco**

$$
L = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + 4x^{2}} \, dx
$$

**Paso 3: Resolver la integral**

La integral $$\int \sqrt{1 + 4x^{2}} \, dx$$ se resuelve utilizando sustitución trigonométrica o métodos de integración estándar. La solución indefinida es:

$$
\int \sqrt{1 + 4x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{1 + 4x^{2}} + \frac{1}{4} \ln\left(2x + \sqrt{4x^{2} + 1}\right) + C
$$

**Paso 4: Evaluar la integral definida de 0 a 4**

$$
L = \left[ \frac{x}{2} \sqrt{1 + 4x^{2}} + \frac{1}{4} \ln\left(2x + \sqrt{4x^{2} + 1}\right) \right]_{0}^{4}
$$

Evaluando en $$ x = 4 $$:

$$
\frac{4}{2} \sqrt{1 + 4(4)^2} = 2 \sqrt{1 + 64} = 2 \sqrt{65} \approx 16.1245
$$

$$
\frac{1}{4} \ln\left(8 + \sqrt{65}\right) \approx \frac{1}{4} \ln(16.0623) \approx 0.6942
$$

Sumando ambos resultados:

$$
L \approx 16.1245 + 0.6942 = 16.8187
$$

**Resultado Final:**

La longitud de arco de la curva $$ y = x^{2} - 4 $$ desde $$ x = 0 $$ hasta $$ x = 4 $$ es aproximadamente **16.82 unidades**.
La longitud de arco de la función $$ y = x^{2} - 4 $$ desde $$ x = 0 $$ hasta $$ x = 4 $$ es aproximadamente **16.82 unidades**.

Caludor le longitud de ancu de la unaa dende
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