El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por \( y=2\left(12-x^{2}\right) \) y \( y=2\left(x^{2}+4\right) \) alrededor de la recta \( y=-2 \) es: cúbicas.

Para calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar la región limitada por las funciones \( y = 2(12 - x^2) \) y \( y = 2(x^2 + 4) \) alrededor de la recta \( y = -2 \), seguiremos estos pasos: 1. **Encontrar los puntos de intersección:** Igualamos las dos funciones para encontrar los valores de \( x \) donde se intersectan: \[ 2(12 - x^2) = 2(x^2 + 4) \\ 24 - 2x^2 = 2x^2 + 8 \\ 24 - 8 = 4x^2 \\ 16 = 4x^2 \\ x^2 = 4 \\ x = \pm 2 \] 2. **Determinar las radios exterior e interior:** Al girar alrededor de \( y = -2 \), los radios se calculan como sigue: - Radio exterior (\( R \)) desde \( y = -2 \) hasta \( y = 24 - 2x^2 \): \[ R = (24 - 2x^2) - (-2) = 26 - 2x^2 \] - Radio interior (\( r \)) desde \( y = -2 \) hasta \( y = 2x^2 + 8 \): \[ r = (2x^2 + 8) - (-2) = 2x^2 + 10 \] 3. **Aplicar el método de los discos (o arandelas):** El volumen \( V \) se calcula mediante la integral: \[ V = \pi \int_{-2}^{2} \left[ (26 - 2x^2)^2 - (2x^2 + 10)^2 \right] dx \] Debido a la simetría de la región, podemos simplificar la integral: \[ V = 2\pi \int_{0}^{2} (576 - 144x^2) \, dx \] 4. **Calcular la integral:** \[ V = 2\pi \left[ 576x - 48x^3 \right]_0^2 \\ V = 2\pi \left[ 576(2) - 48(2)^3 \right] \\ V = 2\pi [1152 - 384] \\ V = 2\pi \times 768 \\ V = 1536\pi \] **Respuesta Final:** El volumen del sólido de revolución es \( 1536\pi \) unidades cúbicas.