\( (20 \) points) Determine a equação da reta que passa pelos pontos \( (1,0) \) e \( (0,1) \). Esboce o gráfico da reta. (20 points) Com relação à função \( f(x)=x^{2}-x-2 \), determine as raízes(caso existam), o vértice da parábla e esboce o gráfico. (10 points) Calcule o limite \( \lim _{x \rightarrow-1} x^{4}-x+2 \). (20 points) Calcule os limites laterais: \( \begin{array}{lll}\text { a. } \lim _{x \rightarrow 1+} \frac{2}{x-1} & \text { b. } \lim _{x \rightarrow 2-} \frac{x}{x-2} \\ \text { (30 points) Calcule os limites indeterminados: } \\ \text { a. } \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-1}{x^{2}-3} & \text { b. } \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-3 x^{2}+2 x-1}{x^{2}-3} & \text { c. } \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}+x-3}{x-1}\end{array} \)

Para determinar a equação da reta que passa pelos pontos \( (1,0) \) e \( (0,1) \), precisamos calcular o coeficiente angular \( m \) usando a fórmula \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \). Temos \( (x_1, y_1) = (1, 0) \) e \( (x_2, y_2) = (0, 1) \). Portanto, \( m = \frac{1 - 0}{0 - 1} = -1 \). Agora, usando a equação da reta na forma \( y = mx + b \) e substituindo um dos pontos para encontrar \( b \), temos \( 0 = -1(1) + b \), resultando em \( b = 1 \). A equação da reta é \( y = -x + 1 \). O gráfico deve atravessar o eixo x em 1 e o eixo y em 1, formando uma linha diagonal descendente. Agora, analisando a função \( f(x) = x^2 - x - 2 \), vamos encontrar suas raízes. Para isso, aplicamos a fórmula de Bhaskara. Os coeficientes são \( a = 1, b = -1, c = -2 \). O discriminante \( \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). Como \( \Delta > 0 \), temos duas raízes: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \), resultando em \( x_1 = 2 \) e \( x_2 = -1 \). O vértice da parábola ocorre em \( x_v = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{2} \). Avaliando \( f\left(\frac{1}{2}\right) \), obtemos \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{9}{4} \). Assim, a parábola tem raízes nos pontos \( (2, 0) \) e \( (-1, 0) \) e um vértice em \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{9}{4}\right) \). Para calcular o limite \( \lim_{x \rightarrow -1} (x^4 - x + 2) \), basta substituir o valor de \( x \) diretamente, já que não há indeterminação. Portanto, \( \lim_{x \rightarrow -1} \left((-1)^4 - (-1) + 2\right) = 1 + 1 + 2 = 4 \). Agora, vamos calcular os limites laterais: a. Para \( \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{2}{x-1} \), quando \( x \) se aproxima de 1 pela direita, \( x - 1 \) se torna um número positivo muito pequeno, fazendo o limite tender a \( +\infty \). b. Para \( \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{x}{x-2} \), quando \( x \) se aproxima de 2 pela esquerda, \( x - 2 \) se torna um número negativo muito pequeno, levando o limite a \( -\infty \). Agora, para os limites indeterminados: a. \( \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x-1}{x^2-3} \). Dividindo numerador e denominador por \( x^2 \), obtemos \( \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x^2}} = 0 \) assim que \( x \) tende ao infinito. b. \( \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 3} \) também simplificamos por \( x^2 \), dando \( \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2