El beneficio \( P \) que se obtiene al producir \( x \) unidades del modelo \( A \) más \( y \) unidades del modelo \( B \) se aproxima mediante el modelo \( P(x y)+B x+10 y \) \( 0,001\left(x^{2}+x y+y^{2}-10000\right) \) ¿Cuántos productos del modelo \( A \) y \( B \) se deben producir para reportar un beneficio matumo? a. \( x=2000, y=4000 \) b. \( x=2000, y=7000 \) c. \( x=3000, y=4000 \) d. \( x=1000, y=4000 \)

Para determinar la combinación de unidades de los modelos \( A \) y \( B \) que maximiza el beneficio \( P \), analicemos el modelo proporcionado: \[ P(x, y) = Bx + 10y - 0.001(x^2 + xy + y^2 - 10000) \] **Pasos para encontrar el beneficio máximo:** 1. **Derivadas Parciales:** - Derivada respecto a \( x \): \[ \frac{\partial P}{\partial x} = B - 0.001(2x + y) = 0 \] \[ 2x + y = 1000B \quad \text{(Ecuación 1)} \] - Derivada respecto a \( y \): \[ \frac{\partial P}{\partial y} = 10 - 0.001(x + 2y) = 0 \] \[ x + 2y = 10000 \quad \text{(Ecuación 2)} \] 2. **Resolviendo el Sistema de Ecuaciones:** - Multiplicamos la Ecuación 2 por 2: \[ 2x + 4y = 20000 \] - Restamos la Ecuación 1: \[ (2x + 4y) - (2x + y) = 20000 - 1000B \] \[ 3y = 20000 - 1000B \quad \Rightarrow \quad y = \frac{20000 - 1000B}{3} \] - Sustituyendo \( y \) en la Ecuación 2: \[ x + 2\left(\frac{20000 - 1000B}{3}\right) = 10000 \] \[ x = 10000 - \frac{40000 - 2000B}{3} = \frac{2000B - 10000}{3} \] 3. **Interpretación de los Resultados:** - Dado que no se proporciona el valor específico de \( B \), observamos que las soluciones disponibles en las opciones son valores enteros. La opción que se alinea mejor con estos cálculos y mantiene una relación balanceada entre \( x \) e \( y \) es: **Respuesta correcta:** **a. \( x = 2000 \), \( y = 4000 \)**