\( (20 \) points) Determine a equação da reta que passa pelos pontos \( (1,0) \) e \( (0,1) \). Esboce o gráfico da reta. (20 points) Com relação à função \( f(x)=x^{2}-x-2 \), determine as raízes(caso existam), o vértice da parábla e esboce o gráfico. (10 points) Calcule o limite \( \lim _{x \rightarrow-1} x^{4}-x+2 \). (20 points) Calcule os limites laterais: \( \begin{array}{lll}\text { a. } \lim _{x \rightarrow 1+} \frac{2}{x-1} & \text { b. } \lim _{x \rightarrow 2-} \frac{x}{x-2} \\ \text { (30 points) Calcule os limites indeterminados: } \\ \text { a. } \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-1}{x^{2}-3} & \text { b. } \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-3 x^{2}+2 x-1}{x^{2}-3} & \text { c. } \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}+x-3}{x-1}\end{array} \)

Vamos resolver cada uma das questões propostas passo a passo. --- ### **1. Equação da reta que passa pelos pontos \( (1,0) \) e \( (0,1) \). Esboço do gráfico da reta.** **a) Determinação da equação da reta:** Para encontrar a equação da reta que passa pelos pontos \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\), utilizamos a fórmula da inclinação \(m\): \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Aplicando os pontos dados: \[ m = \frac{1 - 0}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1 \] Agora, usando a forma da equação da reta \(y = mx + b\) e substituindo um dos pontos para encontrar \(b\). Vamos usar o ponto \((1,0)\): \[ 0 = -1 \cdot 1 + b \\ 0 = -1 + b \\ b = 1 \] Portanto, a equação da reta é: \[ y = -x + 1 \] **b) Esboço do gráfico da reta:** A reta intercepta os eixos nos pontos \((1,0)\) e \((0,1)\). Com inclinação negativa, a reta desce da esquerda para a direita. \[ \begin{array}{lc} \text{Coordenadas} & y = -x + 1 \\ \hline (0,1) & \text{Interseção no eixo } y \\ (1,0) & \text{Interseção no eixo } x \\ \end{array} \] --- ### **2. Análise da função \( f(x) = x^{2} - x - 2 \).** **a) Determinação das raízes:** Para encontrar as raízes da função quadrática \(f(x) = 0\), resolvemos: \[ x^{2} - x - 2 = 0 \] Calculando o discriminante (\(\Delta\)): \[ \Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] Como \(\Delta > 0\), existem duas raízes reais: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Portanto: \[ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \\ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] As raízes são \(x = 2\) e \(x = -1\). **b) Determinação do vértice da parábola:** O vértice \((h, k)\) de uma parábola dada por \(f(x) = ax^{2} + bx + c\) é dado por: \[ h = -\frac{b}{2a} \] \[ k = f(h) \] Para \(f(x) = x^{2} - x - 2\): \[ a = 1, \quad b = -1, \quad c = -2 \] Calculando \(h\): \[ h = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} \] Calculando \(k\): \[ k = f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{9}{4} = -2,25 \] Portanto, o vértice está em \(\left(\frac{1}{2}, -2,25\right)\). **c) Esboço do gráfico da parábola:** - **Concavidade:** Como \(a = 1 > 0\), a parábola é côncava para cima. - **Vértice:** \(\left(\frac{1}{2}, -2,25\right)\) - **Raízes:** \(x = 2\) e \(x = -1\) - **Interseção com o eixo \(y\):** \(f(0) = -2\) --- ### **3. Cálculo do limite \( \lim_{x \rightarrow -1} (x^{4} - x + 2) \).** A função \(f(x) = x^{4} - x + 2\) é um polinômio, logo é contínua para todo \(x\) real. Portanto, o limite é simplesmente o valor da função no ponto: \[ \lim_{x \rightarrow -1} (x^{4} - x + 2) = (-1)^{4} - (-1) + 2 = 1 + 1 + 2 = 4 \] --- ### **4. Cálculo dos limites laterais:** **a. \( \lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2}{x - 1} \)** Analisando o comportamento de \(\frac{2}{x - 1}\) conforme \(x \) se aproxima de \(1\) pela direita (\(x \to 1^{+}\)): - \(x - 1 \) tende a \(0^{+}\) (valores positivos muito próximos de zero). Portanto: \[ \frac{2}{x - 1} \to +\infty \] **Resposta:** \( +\infty \) --- **b. \( \lim_{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x}{x - 2} \)** Analisando o comportamento de \(\frac{x}{x - 2}\) conforme \(x\) se aproxima de \(2\) pela esquerda (\(x \to 2^{-}\)): - \(x \to 2^{-}\), logo \(x \approx 2\) - \(x - 2 \) tende a \(0^{-}\) (valores negativos muito próximos de zero) Portanto: \[ \frac{x}{x - 2} \approx \frac{2}{0^{-}} \to -\infty \] **Resposta:** \( -\infty \) --- ### **5. Cálculo dos limites indeterminados:** **a. \( \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x - 1}{x^{2} - 3} \)** Analisamos o comportamento das potências dominantes no numerador e denominador: - No numerador: \(x\) - No denominador: \(x^{2}\) A razão entre os termos de maior grau: \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = 0 \] **Resposta:** \( 0 \) --- **b. \( \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-3x^{2} + 2x - 1}{x^{2} - 3} \)** Identificamos os termos de maior grau no numerador e denominador: - No numerador: \(-3x^{2}\) - No denominador: \(x^{2}\) Dividimos ambos os termos pelo maior grau comum, \(x^{2}\): \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x^{2}}} = \frac{-3 + 0 - 0}{1 - 0} = -3 \] **Resposta:** \( -3 \) --- **c. \( \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^{2} + x - 3}{x - 1} \)** Analisamos os termos de maior grau: - No numerador: \(x^{2}\) - No denominador: \(x\) Dividimos ambos os termos pelo maior grau no denominador, \(x\): \[ \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^{2}/x + x/x - 3/x}{1 - 1/x} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x + 1 - \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x + 1}{1} = -\infty \] **Resposta:** \( -\infty \) ---