Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right) \) mit der Ebene E: \( \begin{array}{l}x_{1}-3 x_{2}+x_{3}=-6 . \\ \mathrm{D}(\square|\square| \square)\end{array} \)

Um den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g} \) mit der Ebene \( E \) zu finden, setzen wir den Parametrisierungsansatz der Geraden in die Gleichung der Ebene ein. Die Gerade ist gegeben durch: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 + t \\ 1 + 2t \\ -2t \end{pmatrix} \] Setzen wir die Koordinaten \( x_1, x_2, x_3 \) in die Ebenengleichung \( x_1 - 3x_2 + x_3 = -6 \) ein: \[ (-3 + t) - 3(1 + 2t) + (-2t) = -6 \] Vereinfachen wir die linke Seite: \[ -3 + t - 3 - 6t - 2t = -6 \] \[ -6 - 7t = -6 \] Diese Gleichung führt auf: \[ -7t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 0 \] Setzen wir \( t = 0 \) in die Gerradengleichung ein, um den Durchstoßpunkt zu berechnen: \[ \vec{x}(0) = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] Daher ist der Durchstoßpunkt \( \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \).