El beneficio \( P \) que se obtiene al producir \( x \) unidades del modelo \( A \) más \( y \) unidades del modelo \( B \) se aproxima mediante el modelo \( P(x y)+B x+10 y \) \( 0,001\left(x^{2}+x y+y^{2}-10000\right) \) ¿Cuántos productos del modelo \( A \) y \( B \) se deben producir para reportar un beneficio matumo? a. \( x=2000, y=4000 \) b. \( x=2000, y=7000 \) c. \( x=3000, y=4000 \) d. \( x=1000, y=4000 \)

Para encontrar cuántas unidades de los modelos \( A \) y \( B \) se deben producir para maximizar el beneficio, podemos aplicar la técnica de optimización en cálculo. Primero, se debe derivar el beneficio \( P(x, y) \) respecto a \( x \) y \( y \), encontrar los puntos críticos, y luego analizar la naturaleza de esos puntos usando la segunda derivada o evaluando las condiciones necesarias. El beneficio está dado por la función mencionada, así que podemos evaluarla en las opciones dadas para determinar cuál proporciona el beneficio máximo. A menudo, en problemas de este tipo, calcular valores exactos en cada opción puede ser un buen camino a seguir. ¡Y no olvides que aplicar estas técnicas puede abrirte las puertas a maximizar no solo beneficios, sino también tu comprensión sobre la relación entre variables en situaciones económicas! Por ejemplo, en el mundo real, muchas empresas utilizan modelos de optimización para decidir cuántos productos fabricar para maximizar ganancias o minimizar costos. Generalmente, emplean herramientas matemáticas como programas de linear programming o simulaciones, lo que refleja lo que estamos haciendo aquí. La optimización no solo es clave en la producción, ¡sino también en la planificación estratégica de negocios!