4.87 Kari planter et tre som er 50 cm høyt. Etter \( t \) år er høyden \( h(t) \) \( m \) av treet gitt ved \( \quad h(t)=-0,0025 t^{3}+0,075 t^{2}+0,50, D_{h}=[0,15] \) a. Når vokser treet raskest? b. Hvor høyt er treet da? c. Hvor raskt vokser treet da?

La oss løse hvert delspørsmål trinnvis. ### a. Når vokser treet raskest? For å finne når treet vokser raskest, må vi finne tidspunktet hvor veksthastigheten \( h'(t) \) er maksimert. 1. **Første derivert (veksthastighet):** \[ h'(t) = \frac{d}{dt} \left( -0.0025 t^3 + 0.075 t^2 + 0.50 \right) = -0.0075 t^2 + 0.15 t \] 2. **Andre derivert (endring i veksthastighet):** \[ h''(t) = \frac{d}{dt} \left( -0.0075 t^2 + 0.15 t \right) = -0.015 t + 0.15 \] 3. **Finn kritisk punkt ved å sette \( h''(t) = 0 \):** \[ -0.015 t + 0.15 = 0 \implies t = \frac{0.15}{0.015} = 10 \text{ år} \] Så, treet vokser raskest etter **10 år**. ### b. Hvor høyt er treet da? Vi beregner høyden \( h(t) \) ved \( t = 10 \) år: \[ h(10) = -0.0025 (10)^3 + 0.075 (10)^2 + 0.50 = -2.5 + 7.5 + 0.50 = 5.5 \text{ meter} \] Treet er **5,5 meter** høyt etter 10 år. ### c. Hvor raskt vokser treet da? Vi beregner veksthastigheten \( h'(t) \) ved \( t = 10 \) år: \[ h'(10) = -0.0075 (10)^2 + 0.15 (10) = -0.75 + 1.5 = 0.75 \text{ meter per år} \] Veksthastigheten er **0,75 meter per år** på dette tidspunktet.