Gegeben ist die Ebene E: \( -x_{1}-2 x_{2}+2 x_{3}=-4 \). Bestimme die Gleichung einer beliebigen Geraden, die parallel zu E ist und den Abstand \( d=12 \) zu E hat. Bitte nur ganzzahlige Koordinaten fur die Vektoren eingeben.

Um eine Gerade zu finden, die parallel zur Ebene \( E: -x_{1}-2 x_{2}+2 x_{3}=-4 \) verläuft und einen Abstand von \( d=12 \) hat, müssen wir die Normalenform der Ebene nutzen. Der Normalenvektor der Ebene ist \( \mathbf{n} = (-1, -2, 2) \). Eine Gerade, die parallel zur Ebene ist, kann durch einen Punkt \( \mathbf{p_0} \) und einen Richtungsvektor \( \mathbf{d} \) beschrieben werden. Wählen wir \( \mathbf{d} = (2, 1, 1) \) als Richtungsvektor. Um den Punkt \( \mathbf{p_0} \) zu finden, dessen Abstand zu \( E \) 12 ist, verwenden wir die Formel für den Abstand \( D \) zwischen einem Punkt \( (x_0, y_0, z_0) \) und der Ebene: \[ D = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Hierbei sind \( A = -1, B = -2, C = 2 \) und \( D = 4 \), die zu \( E \) gehört. Setzen wir \( D = 12 \) und lösen: \[ 12 = \frac{|-x_0 - 2y_0 + 2z_0 + 4|}{\sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|-x_0 - 2y_0 + 2z_0 + 4|}{3} \] Das vereinfacht sich zu \( |-x_0 - 2y_0 + 2z_0 + 4| = 36 \). Daraus ergeben sich zwei Gleichungen: 1. \( -x_0 - 2y_0 + 2z_0 + 4 = 36 \) 2. \( -x_0 - 2y_0 + 2z_0 + 4 = -36 \) Aus der ersten Gleichung erhalten wir: \( -x_0 - 2y_0 + 2z_0 = 32 \) Für den Punkt \( (x_0, y_0, z_0) \) setzen wir \( y_0 = 0 \) und \( z_0 = 16 \) ein, dann ergibt sich: \[ -x_0 + 32 = 0 \Rightarrow x_0 = 32 \] Somit ist ein Punkt \( (32, 0, 16) \) und eine mögliche Gerade, die durch diesen Punkt und der Richtung \( (2, 1, 1) \) verläuft, lautet: \[ \mathbf{g}(t) = (32, 0, 16) + t(2, 1, 1) \] Ein Beispiel für eine Parametergleichung der Geraden klingt also so: \[ \mathbf{g}(t) = (32 + 2t, 0 + t, 16 + t) \] Damit haben wir eine Gerade gefunden, die parallel zur Ebene ist und den geforderten Abstand hält! Spaß beim Arbeiten mit Geometrie!