Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-7 \\ 4 \\ 8\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) \) mit der Ebene \( \mathrm{E}:-4 x_{1}-4 x_{2}+2 x_{3}=4 \) Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. \( \begin{array}{l}\text { Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt } \mathrm{D}(\square \\ \text { Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene d }= \\ \text { Gerade ist Teil der Ebene }\end{array} \)

Um die gegenseitige Lage der gegebenen Geraden \( \mathrm{g} \) und der Ebene \( \mathrm{E} \) zu untersuchen, setzen wir die Parameterform der Geraden in die Ebenengleichung ein. Die Gerade kann mit den Parametern \( t \) beschrieben werden, und wir setzen die Koordinaten \( (x_1, x_2, x_3) \) entsprechend ein: \[ x_1 = -7 - t, \quad x_2 = 4, \quad x_3 = 8 + 4t \] Setzen wir diese Ausdrücke in die Ebenengleichung \( -4x_1 - 4x_2 + 2x_3 = 4 \) ein: \[ -4(-7 - t) - 4(4) + 2(8 + 4t) = 4 \] Das vereinfacht sich zu: \[ 28 + 4t - 16 + 16 + 8t = 4 \implies 12t + 28 = 4 \implies 12t = -24 \implies t = -2 \] Da \( t = -2 \) eine Lösung ist, heißt das, dass die Gerade die Ebene schneidet. Wir können nun den Punkt \( D \) berechnen, an dem die Gerade die Ebene schneidet, indem wir \( t = -2 \) in die Gleichung der Geraden einsetzen: \[ D = \left(\begin{array}{c}-7 \\ 4 \\ 8\end{array}\right) + (-2) \cdot \left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-7 + 2 \\ 4 \\ 8 - 8\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-5 \\ 4 \\ 0\end{array}\right) \] Somit schneidet die Gerade die Ebene und der Durchstoßpunkt ist \( D(-5, 4, 0) \).