Formule de Moivre 41 Écris sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants : \( \begin{array}{lll}\text { 1) }(1+i \sqrt{3})^{2} & \text {; } & \text { 2) }\left(\frac{\sqrt{3}+i}{1+i}\right)^{3}\end{array} \) \( \begin{array}{ll}(3) & \left(\frac{\sqrt{6}-i \sqrt{2}}{1-i}\right)^{3}\end{array} \)

Pour exprimer les nombres complexes donnés sous forme trigonométrique à l'aide de la formule de Moivre, nous procédons en trois étapes pour chaque nombre : 1. **Trouver le module \( r \) et l'argument \( \theta \) du nombre complexe de base.** 2. **Appliquer la puissance en utilisant la formule de Moivre :** \[ (r (\cos \theta + i \sin \theta))^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)) \] 3. **Exprimer le résultat sous forme trigonométrique.** ### 1) \((1 + i\sqrt{3})^2\) **Étape 1 :** Calcul du module : \[ r = |1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \] Calcul de l'argument : \[ \theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3} \] **Étape 2 :** Application de la formule de Moivre : \[ (1 + i\sqrt{3})^2 = 2^2 \left(\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{3}\right)\right) = 4 \left(\cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\right) \] **Réponse :** \[ 4 \left(\cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\right) \] ### 2) \(\left(\frac{\sqrt{3} + i}{1 + i}\right)^3\) **Étape 1 :** Pour le numérateur \(\sqrt{3} + i\) : \[ r_1 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2 \] \[ \theta_1 = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} \] Pour le dénominateur \(1 + i\) : \[ r_2 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] \[ \theta_2 = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \] **Étape 2 :** Le quotient en forme trigonométrique : \[ \frac{\sqrt{3} + i}{1 + i} = \frac{2}{\sqrt{2}} \left(\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2} \left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right) \] En élevant à la puissance 3 : \[ \left(\frac{\sqrt{3} + i}{1 + i}\right)^3 = (\sqrt{2})^3 \left(\cos\left(3 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right)\right) + i \sin\left(3 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right)\right)\right) = 2\sqrt{2} \left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \] Note : \(-\frac{\pi}{4}\) est équivalent à \(\frac{7\pi}{4}\) dans le cercle trigonométrique. **Réponse :** \[ 2\sqrt{2} \left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) \quad \text{ou} \quad 2\sqrt{2} \left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right) \] ### 3) \(\left(\frac{\sqrt{6} - i\sqrt{2}}{1 - i}\right)^3\) **Étape 1 :** Pour le numérateur \(\sqrt{6} - i\sqrt{2}\) : \[ r_1 = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = 2\sqrt{2} \] \[ \theta_1 = \arctan\left(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\right) = -\frac{\pi}{6} \] Pour le dénominateur \(1 - i\) : \[ r_2 = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \] \[ \theta_2 = \arctan\left(\frac{-1}{1}\right) = -\frac{\pi}{4} \] **Étape 2 :** Le quotient en forme trigonométrique : \[ \frac{\sqrt{6} - i\sqrt{2}}{1 - i} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \left(\cos\left(-\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right) = 2 \left(\cos\frac{\pi}{12} + i \sin\frac{\pi}{12}\right) \] En élevant à la puissance 3 : \[ \left(\frac{\sqrt{6} - i\sqrt{2}}{1 - i}\right)^3 = 2^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{12}\right) + i \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{12}\right)\right) = 8 \left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right) \] **Réponse :** \[ 8 \left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right) \] --- **Résumé des réponses :** 1. \((1 + i\sqrt{3})^{2} = 4 \left(\cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3}\right)\) 2. \(\left(\frac{\sqrt{3} + i}{1 + i}\right)^{3} = 2\sqrt{2} \left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\) 3. \(\left(\frac{\sqrt{6} - i\sqrt{2}}{1 - i}\right)^{3} = 8 \left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)\)