\( \overline { P F } _ { 1 } + \overline { P F } _ { 2 } = 2 a \Rightarrow \sqrt { ( x + c ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \sqrt { ( x - c ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = 2 a \)

L'equazione fornita: \[ \overline{PF}_1 + \overline{PF}_2 = 2a \quad \Rightarrow \quad \sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a \] descrive un'**ellisse** nel piano cartesiano. Ecco una spiegazione dettagliata in italiano: ### Definizione di Ellisse Un'ellisse è il luogo geometrico dei punti \( P(x, y) \) tali che la somma delle distanze da \( P \) a due punti fissi chiamati **fuochi** (\( F_1 \) e \( F_2 \)) è costante. In questa equazione: - \( F_1 \) e \( F_2 \) sono i fuochi dell'ellisse situati rispettivamente in \((-c, 0)\) e \((c, 0)\) sull'asse \(x\). - \( 2a \) è la somma costante delle distanze dai punti sull'ellisse ai fuochi. - \( c \) è la distanza di ciascun fuoco dall'origine. - \( a \) è la semiasse maggiore dell'ellisse. ### Parametri dell'Ellisse L'ellisse ha due assi principali: 1. **Asse Maggiore (\(2a\))**: È l'asse più lungo dell'ellisse, che passa per entrambi i fuochi. 2. **Asse Minore (\(2b\))**: È perpendicolare all'asse maggiore e passa per il centro dell'ellisse. La relazione tra questi parametri è data da: \[ c^2 = a^2 - b^2 \] dove \(b\) è la semiasse minore. ### Forma Standard dell'Ellisse L'equazione standard dell'ellisse centrata nell'origine con gli assi allineati agli assi coordinati è: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] ### Interpretazione dell'Equazione Data La tua equazione: \[ \sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a \] rimane nell'ambito della definizione di un'ellisse, dove: - Le espressioni sotto le radici rappresentano le distanze dai punti \(P(x, y)\) ai fuochi \(F_1(-c, 0)\) e \(F_2(c, 0)\). - La somma di queste distanze è costante ed uguale a \(2a\), confermando così che tutti i punti \(P\) soddisfano l'equazione di un'ellisse. ### Grafico dell'Ellisse Per visualizzare l'ellisse, puoi tracciare l'insieme di tutti i punti \( (x, y) \) che soddisfano l'equazione. Il grafico avrà i foci lungo l'asse \(x\) e si estenderà lungo l'asse maggiore di lunghezza \(2a\) e lungo l'asse minore di lunghezza \(2b\). ### Esempio Supponiamo di avere \(a = 5\) e \(c = 3\). Allora: \[ b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \] L'equazione standard dell'ellisse sarà: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \] Questo descrive un'ellisse con semiasse maggiore di 5 unità lungo l'asse \(x\) e semiasse minore di 4 unità lungo l'asse \(y\).