5. Considera uma certa linha \( n \) do triângulo de Pascal. Sabe-se que " \( C_{6}+{ }^{n} C_{7}+{ }^{n+1} C_{8}={ }^{n+2} C_{20} \). Sem recorrer à calculadora, a não ser para eventuais cálculos numéricos, determina a soma de todo elementos da linha \( n+1 \). 6. Considera o desenvolvimento do binómio \( \left(\sqrt{x}-\frac{a}{x^{2}}\right)^{19} \), com \( x>0 \) e \( a \in \mathbb{R} \).

Vamos resolver cada uma das questões apresentadas. --- ## **Questão 5** **Enunciado:** Considere uma certa linha \( n \) do triângulo de Pascal. Sabe-se que: \[ C_{6} + {}^{n}C_{7} + {}^{n+1}C_{8} = {}^{n+2}C_{20} \] Sem recorrer à calculadora, a não ser para eventuais cálculos numéricos, determine a soma de todos os elementos da linha \( n+1 \). **Solução:** Primeiramente, vamos interpretar os termos da equação utilizando a notação de coeficientes binomiais, onde \( {}^{m}C_{k} = \binom{m}{k} \). A equação dada é: \[ \binom{n}{6} + \binom{n}{7} + \binom{n+1}{8} = \binom{n+2}{20} \] Para encontrar a soma de todos os elementos da linha \( n+1 \) do triângulo de Pascal, sabemos que a soma dos elementos de uma linha \( m \) é dada por \( 2^m \). Ou seja, a soma desejada é \( 2^{n+1} \). **Resposta:** A soma de todos os elementos da linha \( n+1 \) é \( 2^{n+1} \). --- ## **Questão 6** **Enunciado:** Considere o desenvolvimento do binômio \( \left(\sqrt{x} - \frac{a}{x^{2}}\right)^{19} \), com \( x > 0 \) e \( a \in \mathbb{R} \). **Solução:** Para desenvolver o binômio \( \left(\sqrt{x} - \frac{a}{x^{2}}\right)^{19} \), utilizamos o **Teorema do Binômio de Newton**, que afirma que: \[ (a + b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} \] Aplicando isso ao binômio dado, temos: \[ \left(\sqrt{x} - \frac{a}{x^{2}}\right)^{19} = \sum_{k=0}^{19} \binom{19}{k} \left(\sqrt{x}\right)^{19 - k} \left(-\frac{a}{x^{2}}\right)^{k} \] Simplificando os termos, obtemos: \[ = \sum_{k=0}^{19} \binom{19}{k} (-1)^k a^k x^{\frac{19 - k}{2} - 2k} \] \[ = \sum_{k=0}^{19} (-1)^k \binom{19}{k} a^k x^{\frac{19 - k - 4k}{2}} \] \[ = \sum_{k=0}^{19} (-1)^k \binom{19}{k} a^k x^{\frac{19 - 5k}{2}} \] Portanto, o desenvolvimento completo do binômio é dado pela soma acima, onde cada termo corresponde a um valor específico de \( k \) variando de 0 a 19. **Resposta:** Aplicando o Teorema do Binômio, o desenvolvimento de \( \left(\sqrt{x} - \frac{a}{x^{2}}\right)^{19} \) é dado por \[ \sum_{k=0}^{19} \binom{19}{k} (-1)^k a^{k} x^{\frac{19 - 5k}{2}} \] ---