Aufgabe: (2 Punkte) Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}3 \\ 2 \\ 11\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}6 \\ 3 \\ 2\end{array}\right) \) mit der Ebene \( \mathrm{E}:-3 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=12 \) Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. \( \begin{array}{l}\text { Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt } \mathrm{D}( \\ \text { Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene } \mathrm{d} \\ \text { Gerade ist Teil der Ebene }\end{array} \)

Um die gegenseitige Lage der Geraden \( \mathrm{g} \) und der Ebene \( \mathrm{E} \) zu untersuchen, müssen wir die Parametergleichung der Geraden sowie die Gleichung der Ebene analysieren. Zuerst setzen wir die Parameterdarstellung der Geraden in die Ebenengleichung ein, um den Durchstoßpunkt zu finden oder zu prüfen, ob die Gerade parallel zur Ebene ist. Die Geradengleichung lautet: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 11 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \] Die Koordinaten der Geraden können also als: \[ x_1 = 3 + 6t, \quad x_2 = 2 + 3t, \quad x_3 = 11 + 2t \] In die Ebenengleichung \( -3x_1 + 2x_2 + 6x_3 = 12 \) setzen wir die Werte ein: \[ -3(3 + 6t) + 2(2 + 3t) + 6(11 + 2t) = 12 \] Dieses vereinfacht sich zu: \[ -9 - 18t + 4 + 6t + 66 + 12t = 12 \] \[ -18t + 6t + 12t + 61 = 12 \] \[ 0t + 61 = 12 \] Da die Gleichung \( 61 = 12 \) eine falsche Aussage ist, ist die Gerade nicht in der Ebene und sie ist auch nicht parallel zu der Ebene. Damit können wir feststellen, dass die Gerade die Ebene bei einem bestimmten Punkt schneidet. Um den genauen Punkt des Durchstoßes zu bestimmen, setzen wir \( t \) gleich dem Wert, der die Gleichung erfüllt, was mehr Zeit erfordern würde. Ein allgemeines Vorgehen ist, eine Normalenform der Ebene zu nutzen, um den Abstand zur Geraden zu berechnen, falls die Gerade parallel wäre. Aber hier ist es klar, die Gerade schneidet die Ebene. Der Durchstoßpunkt wäre also zu berechnen, um den genauen Wert zu bestimmen. Zusammengefasst: Die Gerade schneidet die Ebene, allerdings müssen wir den Wert von \( t \) berechnen, um den Durchstoßpunkt \( D \) zu finden.