Aufgabe: (2 Punkte) Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade $$ \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}3 \ 2 \ 11\end{array} ight)+t \cdot\left(\begin{array}{l}6 \ 3 \ 2\end{array} ight) $$ mit der Ebene $$ \mathrm{E}:-3 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=12 $$ Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. $$ \begin{array}{l} ext { Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt } \mathrm{D}( \ ext { Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene } \mathrm{d} \ ext { Gerade ist Teil der Ebene }\end{array} $$

Question

Aufgabe: (2 Punkte) Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade $$ \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}3 \ 2 \ 11\end{array}ight)+t \cdot\left(\begin{array}{l}6 \ 3 \ 2\end{array}ight) $$ mit der Ebene $$ \mathrm{E}:-3 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=12 $$ Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. $$ \begin{array}{l}	ext { Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt } \mathrm{D}( \ 	ext { Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene } \mathrm{d} \ 	ext { Gerade ist Teil der Ebene }\end{array} $$

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**Lösung:**

Um die gegenseitige Lage der Geraden $$ \mathrm{g} $$ und der Ebene $$ \mathrm{E} $$ zu untersuchen, gehen wir wie folgt vor:

1. **Parametergleich der Geraden $$ \mathrm{g} $$:**
   $$
   \vec{x} = \begin{pmatrix}3 \ 2 \ 11\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}6 \ 3 \ 2\end{pmatrix}
   $$
   Das bedeutet:
   $$
   x_1 = 3 + 6t, \quad x_2 = 2 + 3t, \quad x_3 = 11 + 2t
   $$

2. **Ebenengleichung $$ \mathrm{E} $$:**
   $$
   -3x_1 + 2x_2 + 6x_3 = 12
   $$

3. **Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:**
   $$
   -3(3 + 6t) + 2(2 + 3t) + 6(11 + 2t) = 12
   $$
   $$
   -9 - 18t + 4 + 6t + 66 + 12t = 12
   $$
   $$
   (-18t + 6t + 12t) + (-9 + 4 + 66) = 12
   $$
   $$
   0t + 61 = 12
   $$
   $$
   61 = 12 \quad \text{(Widerspruch)}
   $$

Da die Gleichung einen Widerspruch ergibt, schneidet die Gerade $$ \mathrm{g} $$ die Ebene $$ \mathrm{E} $$ **nicht**.

4. **Bestimmung der Parallelität:**
   - Der Richtungsvektor der Geraden $$ \mathrm{g} $$ ist $$ \vec{d} = \begin{pmatrix}6 \ 3 \ 2\end{pmatrix} $$.
   - Der Normalenvektor der Ebene $$ \mathrm{E} $$ ist $$ \vec{n} = \begin{pmatrix}-3 \ 2 \ 6\end{pmatrix} $$.
   - Überprüfen der Orthogonalität:
     $$
     \vec{d} \cdot \vec{n} = 6 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 6 = -18 + 6 + 12 = 0
     $$
     Da das Skalarprodukt null ist, ist die Gerade $$ \mathrm{g} $$ **parallel** zur Ebene $$ \mathrm{E} $$.

5. **Berechnung des Abstands $$ d $$ zwischen der Geraden und der Ebene:**
   - Wähle einen Punkt auf der Geraden, z.B. $$ P_0 = (3, 2, 11) $$.
   - Abstand berechnen:
     $$
     d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{P}_0 - d_E|}{\|\vec{n}\|}
     $$
     wobei $$ d_E = 12 $$ (aus der Ebenengleichung).
     $$
     d = \frac{|-3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 6 \cdot 11 - 12|}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 6^2}} = \frac{| -9 + 4 + 66 - 12 |}{\sqrt{9 + 4 + 36}} = \frac{49}{7} = 7
     $$

**Ergebnis:**

Die Gerade ist parallel zur Ebene, und der Abstand zwischen der Geraden und der Ebene beträgt **7** Einheiten.
Die Gerade ist parallel zur Ebene und liegt 7 Einheiten entfernt von ihr.

Aufgabe: (2 Punkte)
Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade
mit der Ebene
Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt.
$ß$

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