Aufgabe: (2 Punkte) Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}3 \\ 2 \\ 11\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}6 \\ 3 \\ 2\end{array}\right) \) mit der Ebene \( \mathrm{E}:-3 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=12 \) Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. \( \begin{array}{l}\text { Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt } \mathrm{D}( \\ \text { Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene } \mathrm{d} \\ \text { Gerade ist Teil der Ebene }\end{array} \)

**Lösung:** Um die gegenseitige Lage der Geraden \( \mathrm{g} \) und der Ebene \( \mathrm{E} \) zu untersuchen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Parametergleich der Geraden \( \mathrm{g} \):** \[ \vec{x} = \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 11\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}6 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} \] Das bedeutet: \[ x_1 = 3 + 6t, \quad x_2 = 2 + 3t, \quad x_3 = 11 + 2t \] 2. **Ebenengleichung \( \mathrm{E} \):** \[ -3x_1 + 2x_2 + 6x_3 = 12 \] 3. **Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:** \[ -3(3 + 6t) + 2(2 + 3t) + 6(11 + 2t) = 12 \] \[ -9 - 18t + 4 + 6t + 66 + 12t = 12 \] \[ (-18t + 6t + 12t) + (-9 + 4 + 66) = 12 \] \[ 0t + 61 = 12 \] \[ 61 = 12 \quad \text{(Widerspruch)} \] Da die Gleichung einen Widerspruch ergibt, schneidet die Gerade \( \mathrm{g} \) die Ebene \( \mathrm{E} \) **nicht**. 4. **Bestimmung der Parallelität:** - Der Richtungsvektor der Geraden \( \mathrm{g} \) ist \( \vec{d} = \begin{pmatrix}6 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} \). - Der Normalenvektor der Ebene \( \mathrm{E} \) ist \( \vec{n} = \begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 6\end{pmatrix} \). - Überprüfen der Orthogonalität: \[ \vec{d} \cdot \vec{n} = 6 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 6 = -18 + 6 + 12 = 0 \] Da das Skalarprodukt null ist, ist die Gerade \( \mathrm{g} \) **parallel** zur Ebene \( \mathrm{E} \). 5. **Berechnung des Abstands \( d \) zwischen der Geraden und der Ebene:** - Wähle einen Punkt auf der Geraden, z.B. \( P_0 = (3, 2, 11) \). - Abstand berechnen: \[ d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{P}_0 - d_E|}{\|\vec{n}\|} \] wobei \( d_E = 12 \) (aus der Ebenengleichung). \[ d = \frac{|-3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 6 \cdot 11 - 12|}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 6^2}} = \frac{| -9 + 4 + 66 - 12 |}{\sqrt{9 + 4 + 36}} = \frac{49}{7} = 7 \] **Ergebnis:** Die Gerade ist parallel zur Ebene, und der Abstand zwischen der Geraden und der Ebene beträgt **7** Einheiten.