6. (2p) Aflati valoarta intergalei \[ y=\int_{0}^{\infty}(8 x+1) e^{-4 x} d x \] Succent

Pentru a calcula integrala \( y = \int_{0}^{\infty} (8x + 1) e^{-4x} \, dx \), putem descompune integrala în două părți: \[ y = \int_{0}^{\infty} 8x e^{-4x} \, dx + \int_{0}^{\infty} e^{-4x} \, dx \] Pentru prima integrală, folosim integrala prin părți. Stabilim: - \( u = 8x \) \Rightarrow \( du = 8 \, dx \) - \( dv = e^{-4x} \, dx \) \Rightarrow \( v = -\frac{1}{4} e^{-4x} \) Aplicând formula integrării prin părți, obținem: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Calculați limitele: \[ = \left[-\frac{8x}{4} e^{-4x}\right]_{0}^{\infty} + 2 \int_{0}^{\infty} e^{-4x} \, dx \] A doua integrală \( \int_{0}^{\infty} e^{-4x} \, dx \) se calculează ca \( \frac{1}{4} \). Revenind la prima parte a integralei și utilizând o limită similară, obținem: \[ = 0 + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \] Adunând cele două integrale, ajungem la: \[ y = 2 + \frac{1}{2} = 2.5 \] Astfel, valoarea intergalei este \( y = \frac{9}{4} \) sau \( 2.25 \).