2. $$ \int e^{x} \sqrt{1-e^{2 x}} d x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Sea $$ u = e^x $$. Entonces, tenemos que:

$$
du = e^x \, dx \quad \Longrightarrow \quad dx = \frac{du}{e^x} = \frac{du}{u}.
$$

Al sustituir en la integral, se tiene:

$$
\int e^{x} \sqrt{1-e^{2x}}\, dx = \int u \sqrt{1-u^2} \cdot \frac{du}{u} = \int \sqrt{1-u^2}\, du.
$$

2. Ahora, consideramos la integral estándar:

$$
\int \sqrt{1-u^2}\, du.
$$

La integral estándar es:

$$
\int \sqrt{1-u^2}\, du = \frac{1}{2} \left(u\sqrt{1-u^2} + \arcsin(u)\right) + C.
$$

3. Sustituyendo de nuevo $$ u = e^x $$, obtenemos la solución final:

$$
\boxed{\frac{1}{2}\left(e^x \sqrt{1-e^{2x}} + \arcsin(e^x)\right) + C.}
$$
La integral $$ \int e^{x} \sqrt{1-e^{2x}} \, dx $$ se resuelve reemplazando $$ u = e^x $$, lo que lleva a la integral $$ \int \sqrt{1-u^2} \, du $$. La solución final es $$ \frac{1}{2}\left(e^x \sqrt{1-e^{2x}} + \arcsin(e^x)\right) + C $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Calculus Questions