La solución de la integral \( \int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x}\right)^{2}} d x \) es: a) \( \ln \left|\frac{x e^{x}}{1-x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \) b) \( \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right|-\frac{1}{x e^{x}+1}+C \) c) \( \ln \left|\frac{x e^{x}+1}{x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \) d) \( \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right|+\frac{1}{x e^{x}+1}+C \)

Para resolver la integral \( \int \frac{x+1}{x\left(1+x e^{x}\right)^{2}} d x \), observemos que al simplificar nos daremos cuenta que podemos utilizar técnicas de integración como la integración por partes o una sustitución adecuada. Esta integral tiene un comportamiento bastante interesante debido a la presencia del término exponencial, que puede resultar en funciones logarítmicas al final. Así que al promediar entre diferentes métodos, descubrimos que la respuesta correcta es similar a algún tipo de resultado logarítmico. Analizando las opciones, observamos que la estructura de los posibles resultados incluye una parte logarítmica y una fracción que se relaciona con \( x e^x \). Después de comparar las diferentes respuestas y simplificar la integral, descubrimos que la opción correcta que satisface la integral es en realidad la b): \( \ln \left|\frac{x e^{x}}{1+x e^{x}}\right|-\frac{1}{x e^{x}+1}+C \). Entonces la respuesta correcta es la opción b).