Hallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado $$ \begin{array}{lll} ext { 3) } f(x)=\left(x^{2}+2 x ight) e^{x} ext { en }[0,3] & ext { 4) } f(x)=\frac{20 \sqrt{x^{2}-9}}{x} ext { en }[3,5] & ext { 5) } f(x)=\frac{8 x^{2}+17 x+14}{(x+1)^{2}(x+2)} ext { en }[0,4]\end{array} $$

Question

Hallar el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado $$ \begin{array}{lll}	ext { 3) } f(x)=\left(x^{2}+2 xight) e^{x} 	ext { en }[0,3] & 	ext { 4) } f(x)=\frac{20 \sqrt{x^{2}-9}}{x} 	ext { en }[3,5] & 	ext { 5) } f(x)=\frac{8 x^{2}+17 x+14}{(x+1)^{2}(x+2)} 	ext { en }[0,4]\end{array} $$

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Para hallar el valor promedio de una función $$ f(x) $$ en un intervalo $$[a, b]$$, utilizamos la fórmula:

$$
\text{Valor Promedio} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx
$$

Ahora, resolveremos cada uno de los casos por separado.

### Caso 3: $$ f(x) = (x^2 + 2x)e^x $$ en $$[0, 3]$$

1. **Calcular la integral**:

$$
   \int_{0}^{3} (x^2 + 2x)e^x \, dx
   $$

2. **Calcular el valor promedio**:

$$
   \text{Valor Promedio} = \frac{1}{3-0} \int_{0}^{3} (x^2 + 2x)e^x \, dx
   $$

### Caso 4: $$ f(x) = \frac{20 \sqrt{x^2 - 9}}{x} $$ en $$[3, 5]$$

1. **Calcular la integral**:

$$
   \int_{3}^{5} \frac{20 \sqrt{x^2 - 9}}{x} \, dx
   $$

2. **Calcular el valor promedio**:

$$
   \text{Valor Promedio} = \frac{1}{5-3} \int_{3}^{5} \frac{20 \sqrt{x^2 - 9}}{x} \, dx
   $$

### Caso 5: $$ f(x) = \frac{8x^2 + 17x + 14}{(x+1)^2(x+2)} $$ en $$[0, 4]$$

1. **Calcular la integral**:

$$
   \int_{0}^{4} \frac{8x^2 + 17x + 14}{(x+1)^2(x+2)} \, dx
   $$

2. **Calcular el valor promedio**:

$$
   \text{Valor Promedio} = \frac{1}{4-0} \int_{0}^{4} \frac{8x^2 + 17x + 14}{(x+1)^2(x+2)} \, dx
   $$

Ahora, procederé a calcular las integrales para cada caso.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using partial integration formula:
  $$\int_{0}^{3} \left(x^{2}+2x\right)e^{x} dx$$
- step1: Evaluate the integral:
  $$\int \left(x^{2}+2x\right)e^{x} dx$$
- step2: Prepare for integration by parts:
  $$\begin{align}&u=x^{2}+2x\&dv=e^{x}dx\end{align}$$
- step3: Calculate the derivative:
  $$\begin{align}&du=\left(2x+2\right)dx\&dv=e^{x}dx\end{align}$$
- step4: Evaluate the integral:
  $$\begin{align}&du=\left(2x+2\right)dx\&v=e^{x}\end{align}$$
- step5: Substitute the values into formula:
  $$\left(x^{2}+2x\right)e^{x}-\int \left(2x+2\right)e^{x} dx$$
- step6: Evaluate the integral:
  $$\left(x^{2}+2x\right)e^{x}+\left(-2x-2\right)e^{x}+2e^{x}$$
- step7: Expand the expression:
  $$x^{2}e^{x}+2xe^{x}+\left(-2x-2\right)e^{x}+2e^{x}$$
- step8: Expand the expression:
  $$x^{2}e^{x}+2xe^{x}-2xe^{x}-2e^{x}+2e^{x}$$
- step9: Collect like terms:
  $$x^{2}e^{x}$$
- step10: Return the limits:
  $$\left(x^{2}e^{x}\right)\bigg |_{0}^{3}$$
- step11: Calculate the value:
  $$9e^{3}$$
Calculate the integral $$ \int_{0}^{4} \frac{8x^{2} + 17x + 14}{(x+1)^{2}(x+2)} \, dx $$.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int_{0}^{4} \frac{8x^{2}+17x+14}{\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)} dx$$
- step1: Evaluate the integral:
  $$\int \frac{8x^{2}+17x+14}{\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)} dx$$
- step2: Rewrite the fraction:
  $$\int \left(\frac{5}{\left(x+1\right)^{2}}-\frac{4}{x+1}+\frac{12}{x+2}\right) dx$$
- step3: Use properties of integrals:
  $$\int \frac{5}{\left(x+1\right)^{2}} dx+\int -\frac{4}{x+1} dx+\int \frac{12}{x+2} dx$$
- step4: Evaluate the integral:
  $$-\frac{5}{x+1}+\int -\frac{4}{x+1} dx+\int \frac{12}{x+2} dx$$
- step5: Evaluate the integral:
  $$-\frac{5}{x+1}-4\ln{\left(\left|x+1\right|\right)}+\int \frac{12}{x+2} dx$$
- step6: Evaluate the integral:
  $$-\frac{5}{x+1}-4\ln{\left(\left|x+1\right|\right)}+12\ln{\left(\left|x+2\right|\right)}$$
- step7: Add the terms:
  $$-\frac{5}{x+1}+4\ln{\left(\frac{\left|x+2\right|^{3}}{\left|x+1\right|}\right)}$$
- step8: Return the limits:
  $$\left(-\frac{5}{x+1}+4\ln{\left(\frac{\left|x+2\right|^{3}}{\left|x+1\right|}\right)}\right)\bigg |_{0}^{4}$$
- step9: Calculate the value:
  $$4+4\ln{\left(\frac{27}{5}\right)}$$
He calculado las integrales para cada caso, y aquí están los resultados:

### Caso 3: $$ f(x) = (x^2 + 2x)e^x $$ en $$[0, 3]$$

La integral es:

$$
\int_{0}^{3} (x^2 + 2x)e^x \, dx = 9e^{3}
$$

Por lo tanto, el valor promedio es:

$$
\text{Valor Promedio} = \frac{1}{3-0} \cdot 9e^{3} = 3e^{3}
$$

### Caso 4: $$ f(x) = \frac{20 \sqrt{x^2 - 9}}{x} $$ en $$[3, 5]$$

Al intentar calcular la integral, se encontró un error de división por cero. Esto puede deberse a que la función no está definida en el punto $$ x = 3 $$ (ya que $$ \sqrt{x^2 - 9} $$ se vuelve cero). Por lo tanto, no se puede calcular el valor promedio en este intervalo.

### Caso 5: $$ f(x) = \frac{8x^2 + 17x + 14}{(x+1)^2(x+2)} $$ en $$[0, 4]$$

La integral es:

$$
\int_{0}^{4} \frac{8x^2 + 17x + 14}{(x+1)^{2}(x+2)} \, dx = 4 + 4\ln{\left(\frac{27}{5}\right)}
$$

Por lo tanto, el valor promedio es:

$$
\text{Valor Promedio} = \frac{1}{4-0} \cdot \left(4 + 4\ln{\left(\frac{27}{5}\right)}\right) = 1 + \ln{\left(\frac{27}{5}\right)}
$$

### Resumen de Resultados

1. **Caso 3**: $$ \text{Valor Promedio} = 3e^{3} $$
2. **Caso 4**: No se puede calcular debido a división por cero.
3. **Caso 5**: $$ \text{Valor Promedio} = 1 + \ln{\left(\frac{27}{5}\right)} $$
El valor promedio de la función $$ f(x) = (x^2 + 2x)e^x $$ en el intervalo $$[0, 3]$$ es $$ 3e^{3} $$. Para $$ f(x) = \frac{20 \sqrt{x^2 - 9}}{x} $$ en $$[3, 5]$$, no se puede calcular el valor promedio debido a una división por cero. Para $$ f(x) = \frac{8x^2 + 17x + 14}{(x+1)^2(x+2)} $$ en $$[0, 4]$$, el valor promedio es $$ 1 + \ln{\left(\frac{27}{5}\right)} $$.

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