(1) For each of the following equations, state the order, degree and whether if is linear or non-linear and homogeneous or nonhomogeneous: (a) $$ u_{t}-u_{x x}+1=0 $$, (b) $$ u_{t}-u_{x x}+x u=0 $$ (c) $$ u_{t}-u_{x x t}+u u_{x}=0 $$, (d) $$ u_{t t}-u_{x x}+x^{2}=0 $$ (e) $$ u_{x}+e^{u} u_{y}=0 $$ (2) In each of the following, classify the equation as linear, nonlinear but quasi-linear, or fully non-linear: (a) $$ u^{2} u_{x x}+u_{y}=\cos (u) $$, (b) $$ x^{2} u_{x}+y^{2} u_{y}+u_{x y}=2 x y $$ (c) $$ (x-y) u_{x}^{2}+u_{x y}=1 $$, (d) $$ x^{2} u_{y y}-y u_{x x}= an (u) $$ (e) $$ u_{x y}-u_{x}^{2}+u_{y}^{2}-\sin \left(u_{x} ight)=0 $$, (f) $$ u_{x}+u_{y}{ }^{2}-u_{x x}=4 $$ (g) $$ \frac{u_{y}}{u_{x}}=x^{2} $$

Question

(1) For each of the following equations, state the order, degree and whether if is linear or non-linear and homogeneous or nonhomogeneous: (a) $$ u_{t}-u_{x x}+1=0 $$, (b) $$ u_{t}-u_{x x}+x u=0 $$ (c) $$ u_{t}-u_{x x t}+u u_{x}=0 $$, (d) $$ u_{t t}-u_{x x}+x^{2}=0 $$ (e) $$ u_{x}+e^{u} u_{y}=0 $$ (2) In each of the following, classify the equation as linear, nonlinear but quasi-linear, or fully non-linear: (a) $$ u^{2} u_{x x}+u_{y}=\cos (u) $$, (b) $$ x^{2} u_{x}+y^{2} u_{y}+u_{x y}=2 x y $$ (c) $$ (x-y) u_{x}^{2}+u_{x y}=1 $$, (d) $$ x^{2} u_{y y}-y u_{x x}=	an (u) $$ (e) $$ u_{x y}-u_{x}^{2}+u_{y}^{2}-\sin \left(u_{x}ight)=0 $$, (f) $$ u_{x}+u_{y}{ }^{2}-u_{x x}=4 $$ (g) $$ \frac{u_{y}}{u_{x}}=x^{2} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

بالطبع، سنقوم بتحليل المعادلات المذكورة وفق المتطلبات المطلوبة.

---

### **المسألة الأولى**

لكل معادلة، سنحدد **الترتيب**، **الدرجة**، وما إذا كانت **خطية** أم **غير خطية**، و**متجانسة** أم **غير متجانسة**.

#### **(1.a) المعادلة: $$ u_{t} - u_{xx} + 1 = 0 $$**

- **الترتيب:** أعلى مشتقة في المعادلة هي $$ u_{xx} $$، إذاً الترتيب هو 2.
- **الدرجة:** المعادلة من الدرجة الأولى لأن أعلى قدرة للمشتقة هي 1.
- **خطية أو غير خطية:** المعادلة خطية لأنها تكون من الدرجة الأولى بالنسبة للدالة $$ u $$ ومشتقاتها.
- **متجانسة أو غير متجانسة:** غير متجانسة بسبب وجود الحد الثابت $$ +1 $$.

#### **(1.b) المعادلة: $$ u_{t} - u_{xx} + x u = 0 $$**

- **الترتيب:** أعلى مشتقة هي $$ u_{xx} $$، الترتيب هو 2.
- **الدرجة:** الدرجة الأولى.
- **خطية أو غير خطية:** خطية لأنها تكون خطية بالنسبة للدالة $$ u $$ ومشتقاتها.
- **متجانسة أو غير متجانسة:** غير متجانسة إذا كان هناك حد مستقل أو يعتمد على المتغيرات الخارجية، ولكن في هذه الحالة لا يوجد حد ثابت، لذا تعتمد على التعريف قد تعتبر متجانسة إذا كان كل الحد يعتمد على $$ u $$ أو مشتقاتها، لكن في العموم يمكن اعتبارها **متجانسة**.

#### **(1.c) المعادلة: $$ u_{t} - u_{xxt} + u u_{x} = 0 $$**

- **الترتيب:** أعلى مشتقة هي $$ u_{xxt} $$، الترتيب هو 3.
- **الدرجة:** الدرجة الثانية بسبب مضروب $$ u $$ في $$ u_x $$.
- **خطية أو غير خطية:** غير خطية بسبب الحاصل $$ u u_x $$.
- **متجانسة أو غير متجانسة:** متجانسة لأنها لا تحتوي على حدود ثابتة أو تعتمد فقط على المتغيرات الخارجية.

#### **(1.d) المعادلة: $$ u_{tt} - u_{xx} + x^{2} = 0 $$**

- **الترتيب:** أعلى مشتقة هي $$ u_{tt} $$ أو $$ u_{xx} $$، الترتيب هو 2.
- **الدرجة:** الدرجة الأولى.
- **خطية أو غير خطية:** خطية لأنها خطية بالنسبة للدالة $$ u $$ ومشتقاتها.
- **متجانسة أو غير متجانسة:** غير متجانسة بسبب وجود الحد $$ x^{2} $$.

#### **(1.e) المعادلة: $$ u_{x} + e^{u} u_{y} = 0 $$**

- **الترتيب:** أعلى مشتقة هي $$ u_{y} $$ أو $$ u_{x} $$، الترتيب هو 1.
- **الدرجة:** لا يمكن تحديدها بشكل تقليدي لأنها تحتوي على دالة غير جبرية $$ e^{u} $$.
- **خطية أو غير خطية:** غير خطية بسبب وجود $$ e^{u} $$.
- **متجانسة أو غير متجانسة:** متجانسة لأنها لا تحتوي على حدود ثابتة أو تعتمد فقط على المتغيرات الخارجية.

---

### **المسألة الثانية**

سنصنف كل معادلة إلى **خطية**، **غير خطية ولكن شبه خطية (quasi-linear)**، أو **غير خطية بالكامل (fully non-linear)**.

#### **(2.a) المعادلة: $$ u^{2} u_{xx} + u_{y} = \cos(u) $$**

- **التصنيف:** غير خطية بالكامل.
  
  **التفسير:** تحتوي المعادلة على حاصل ضرب $$ u^{2} $$ في $$ u_{xx} $$ ودالة مثل $$ \cos(u) $$ مما يجعلها غير خطية بالكامل.

#### **(2.b) المعادلة: $$ x^{2} u_{x} + y^{2} u_{y} + u_{xy} = 2xy $$**

- **التصنيف:** شبه خطية (quasi-linear).
  
  **التفسير:** المعادلة خطية بالنسبة للمشتقات من الدرجة الأولى والثانية، حيث معاملات المشتقات تعتمد فقط على المتغيرات $$ x $$ و $$ y $$ وليس على $$ u $$ أو مشتقاتها.

#### **(2.c) المعادلة: $$ (x - y) u_{x}^{2} + u_{xy} = 1 $$**

- **التصنيف:** غير خطية بالكامل.
  
  **التفسير:** تحتوي على حاصلات غير خطية مثل $$ u_x^{2} $$ مما يجعلها غير خطية بالكامل.

#### **(2.d) المعادلة: $$ x^{2} u_{yy} - y u_{xx} = 	an(u) $$**

- **التصنيف:** غير خطية بالكامل.
  
  **التفسير:** وجود دالة مثل $$ 	an(u) $$ يجعل المعادلة غير خطية بالكامل.

#### **(2.e) المعادلة: $$ u_{xy} - u_{x}^{2} + u_{y}^{2} - \sin(u_{x}) = 0 $$**

- **التصنيف:** غير خطية بالكامل.
  
  **التفسير:** تحتوي على حاصلات تربيعية ودوال غير خطية مثل $$ \sin(u_x) $$ مما يجعلها غير خطية بالكامل.

#### **(2.f) المعادلة: $$ u_{x} + u_{y}^{2} - u_{xx} = 4 $$**

- **التصنيف:** غير خطية بالكامل.
  
  **التفسير:** تحتوي على $$ u_{y}^{2} $$ وهو حاصل غير خطي، بالإضافة إلى حد ثابت.

#### **(2.g) المعادلة: $$ \frac{u_{y}}{u_{x}} = x^{2} $$**

- **التصنيف:** غير خطية بالكامل.
  
  **التفسير:** النسبة بين مشتقات $$ u $$ تجعل المعادلة غير خطية بالكامل.

---

إذا كان لديك أي استفسار إضافي أو تحتاج إلى توضيح أكثر لمعادلة معينة، فلا تتردد في السؤال!
**تحليل المعادلات:** 1. **الأولية:** - **(1.a)**: ترتيب 2، درجة 1، خطية، غير متجانسة. - **(1.b)**: ترتيب 2، درجة 1، خطية، متجانسة. - **(1.c)**: ترتيب 3، درجة 2، غير خطية، متجانسة. - **(1.d)**: ترتيب 2، درجة 1، خطية، غير متجانسة. - **(1.e)**: ترتيب 1، درجة غير محددة، غير خطية، متجانسة. 2. **التصنيف:** - **(2.a)**: غير خطية بالكامل. - **(2.b)**: شبه خطية. - **(2.c)**: غير خطية بالكامل. - **(2.d)**: غير خطية بالكامل. - **(2.e)**: غير خطية بالكامل. - **(2.f)**: غير خطية بالكامل. - **(2.g)**: غير خطية بالكامل. **ملاحظة:** بعض المعادلات تحتوي على عناصر غير خطية مثل حاصلات تربيعية أو دوال مثلثية، مما يجعلها غير خطية بالكامل.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

المسألة الأولى

(1.a) المعادلة:

(1.b) المعادلة:

(1.c) المعادلة:

(1.d) المعادلة:

(1.e) المعادلة:

المسألة الثانية

(2.a) المعادلة:

(2.b) المعادلة:

(2.c) المعادلة:

(2.d) المعادلة:

(2.e) المعادلة:

(2.f) المعادلة:

(2.g) المعادلة:

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions