Partie 1: On considere fonction g definie sur l'intervalle \( I=10,+\infty\left[\right. \) par: \( g(x)=1+x^{2}-2 x^{2} \ln (x) \) (1) Calculer : \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x) \) et \( \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x) \quad \) (1pts) (2) Calculer \( g^{\prime}(x) \) pour tout \( x \in I \) puis donner le tableau des variations de \( g \) (3) Montrer que l'equation \( g(x)=0 \) admet une unique solution \( \alpha \quad \) (1pts) (4) En deduire le signe de \( g(x \) suivant les valeaur de \( x \) dans I

1) \( y=\cos ^{-1}(\sin x) \Rightarrow y^{\prime}=? \) A) \( -\frac{\cos x}{|\cos x|} \) B) \( \frac{\cos x}{|\cos x|} \) C) \( -\frac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \) D) \( \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}} \) E) \( -\frac{\sin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \)

\( y^{\prime}= \) 22 إذا كان \( a^{y}=6 x \) إن a) \( \log \left(\frac{a}{b}\right) \) 6) \( \log _{a} 6 \) c) \( \log _{6} a \) d) \( \log \left(\frac{6}{a}\right) \) \( \frac{d^{2} y}{d x^{2}}= \) فأن \( f(x)=\ln (\sin x) \) (23 a) \( -\csc ^{2} x \) 6) \( \sec x \) c) \( -\csc x \cot x \) d) \( \sec x \tan x \) \( f^{\prime}(x)= \) = \( f(x)=e^{3 x} \) إذا 24 a) \( e^{2 x} \) b) \( 3 e^{3 x} \) c) \( 9 e^{3 x} \) d) \( 3 e^{2 x} \) \( f^{\prime}(-2)= \) فان \( f(x)=a \) er إذا كان 25 a) \( -f(2) \) 6) \( -f^{\prime}(2) \) c) \( -f(-2) \) a) \( f(-2) \) \( \frac{d y}{d v}= \) فان \( y=3 t^{2} \quad, \quad v=2 t-5 \) إذا كان a) \( \frac{1}{3} t \) 6) \( 3 t \) c) 3 d) \( \frac{3}{t} \) \( \left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=1}=\quad \) فإن \( x=2 t^{2}+3, \quad y=\sqrt{t^{3}} \quad \) (27 a) \( \frac{1}{8} \) 6) \( \frac{1}{4} \) c) \( \frac{3}{8} \) d) \( \frac{8}{3} \) 28 المماس لمنحنى العلاقة عند \( t=1 \) بساوي : a) 2 6) 4 c) \( \frac{1}{2} \) d) \( \frac{1}{4} \) a) 0 6) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) c) \( \frac{1}{2} \) d) \( \frac{-1}{\sqrt{2}} \) \( f(7)= \) فإن \( g(1)=2, g^{\prime}(1)=4 \) وكا \( f(2 x+1)=x g(2 x-5) \) (30 a) 4 6) 7 c) 11 d) 13

\( \frac{f^{\prime}(2)}{g^{\prime}(4)}=\dot{j} f(x)=g\left(x^{2}\right) \) ن ا 51 إ a) 1 6) 2 c) 3 d) 4 \( (f \circ f)^{\prime}(-1)=j \) فا \( f(x)=3 x^{2}-2 \) ن أ 1 ) 32 a) -36 6) -18 c) 0 d) 18 : 33 a) \( x^{3}+3 x^{2}-3 x \) 6) \( 3 x^{2}-4 x-3 \) c) \( x^{3}+2 x^{2}-3 x+5 \) d) \( x^{3}+2 x^{2}+5 \) \[ \frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(\cos ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)\right)= \] a) \( -\cos x \) 6) \( \cos x \) c) \( -\sin x \) d) \( \cos x-\sin x \) \( \frac{d^{10} y}{d x^{10}}= \) ن \( y=x^{9}-14 x^{7}-x^{2}+3 \) نا 15 (35 a) 0 ‘) 9 c) 18 d) 72 a) \( 6 s(t) \) b) \( b^{2} s(t) \) c) \( -6 s(t) \) d) \( -\sigma^{2} s(t) \) a) \( \frac{2}{3} \) 6) \( \frac{8}{3} \) c) \( \frac{4 \sqrt{3}}{3} \) d) \( \frac{4 \sqrt{2}}{3} \) \[ \frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(\cos ^{4} x+\sin ^{4} x\right)= \] a) \( -2 \sin 2 x \) 6) \( -4 \cos 4 x \) c) 0 d) 1 \( f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)= \) ف! \( f(x)=\cos 3 x \cos x-\sin 3 x \sin x \) (39 a) 2 6) 4 c) 8 d) 16 40 a) 7 6) 13 c) 5 d) 6

2) \( \left.\frac{d}{d x} \cot ^{-1}(a x+b)\right|_{x=-b / a}=? \) A) \( a \) B) \( b \) C) \( -a \) D) \( -b \) E) \( a / b \)

\( F(x)=\int_{1}^{\pi} \frac{\cos t}{t} d t \) siendo \( x \geq 1 \)