Partie 1: On considere fonction g definie sur l'intervalle \( I=10,+\infty\left[\right. \) par: \( g(x)=1+x^{2}-2 x^{2} \ln (x) \) (1) Calculer : \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} g(x) \) et \( \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x) \quad \) (1pts) (2) Calculer \( g^{\prime}(x) \) pour tout \( x \in I \) puis donner le tableau des variations de \( g \) (3) Montrer que l'equation \( g(x)=0 \) admet une unique solution \( \alpha \quad \) (1pts) (4) En deduire le signe de \( g(x \) suivant les valeaur de \( x \) dans I

Pour résoudre ce problème, nous avons calculé les limites de la fonction \( g(x) = 1 + x^{2} - 2x^{2} \ln(x) \) aux bornes de son intervalle \( I = [10, +\infty) \). Nous avons trouvé que \( \lim_{x \rightarrow 0^{+}} g(x) = 1 \) et \( \lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = -\infty \). Ensuite, nous avons dérivé \( g(x) \) pour obtenir \( g'(x) = -4x \ln(x) \) et construit le tableau de variations, montrant que \( g(x) \) est croissante sur \( [10, 1] \) et décroissante sur \( [1, +\infty) \). En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, nous avons démontré qu'il existe une unique solution \( \alpha \) à l'équation \( g(x) = 0 \). Enfin, nous avons déduit que \( g(x) \) est positif pour \( x < \alpha \), nul pour \( x = \alpha \), et négatif pour \( x > \alpha \) dans l'intervalle \( I \).