1) Sout \( x>0 \). En appliquant le thécorème des accroissement fines à la fonction \( \ln \) montrer que: \( \exists c \in] x, x+1\left[\frac{1}{c}=\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right. \) 2) \( M q: \exists c \in] 0, x\left[\right. \) arctan \( (x)=\frac{x}{1+c^{2}} \) 3) En déduire que \( \forall x>0: \) \( \frac{1}{1+x}<\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x} \)

\( L ^ { - 1 } ( \operatorname { Ln } ( \frac { s ^ { 2 } + 2 s + 3 } { s ^ { 2 } + 4 } ) ) \)

b) \( F^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\log _{2}(x+h)-\log _{2}(x)}{h} \)

\[ f(x)=\frac{x^{2}+3 x+2}{x^{2}-2 x-3} \] a) Find the domain of \( f \) and deduce the vertical asymptote. b) Find \( x \)-axis intercepts, the \( y \)-axis intercepts and the horizontal asymptote ( check the intersection with the horizontal asymptote). c) Compute the derivative \( f^{\prime} \) of \( f \) and analyze it d) Compute the second derivative \( f^{\prime \prime} \) of \( f \) and analyze it. e) sketch the graph of \( f \)

12. Si una bola de nieve se derrite de tal modo que el área superficial disminuye a razón de \( 1 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min} \), calcule la rapidez con la que disminuye el diámetro cuando éste es 10 cm .

\( L ^ { - 1 } ( \operatorname { Ln } ( \frac { s ^ { 2 } + 2 s + 3 } { s ^ { 2 } + 1 } ) ) \)