1) Sout \( x>0 \). En appliquant le thécorème des accroissement fines à la fonction \( \ln \) montrer que: \( \exists c \in] x, x+1\left[\frac{1}{c}=\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right. \) 2) \( M q: \exists c \in] 0, x\left[\right. \) arctan \( (x)=\frac{x}{1+c^{2}} \) 3) En déduire que \( \forall x>0: \) \( \frac{1}{1+x}<\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x} \)

\( F ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { \log _ { a } ( x + h ) - \log _ { a } ( x ) } { h } \)

\( L ^ { - 1 } ( \operatorname { Ln } ( \frac { s ^ { 2 } + 2 s + 3 } { s ^ { 2 } + 4 } ) ) \)

12. Si una bola de nieve se derrite de tal modo que el área superficial disminuye a razón de \( 1 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min} \), calcule la rapidez con la que disminuye el diámetro cuando éste es 10 cm .

\( L ^ { - 1 } ( \operatorname { Ln } ( \frac { s ^ { 2 } + 2 s + 3 } { s ^ { 2 } + 1 } ) ) \)

\( \lim _ { x \rightarrow 0 } ( \frac { t 9 ( x ) } { x } ) ^ { \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \)